Câu hỏi 14
Biến thể 1. Một con châu chấu nhảy trên trục số thực. Nó bắt đầu tại 0 và thực hiện 2009 bước sang phải có các độ dài $1,2, \ldots, 2009$, theo thứ tự tùy ý. Cho $M$ là tập gồm 2008 số nguyên dương nhỏ hơn $1005 \cdot 2009$. Chứng minh châu chấu có thể sắp xếp các bước sao cho không bao giờ đáp xuống điểm thuộc $M$.
Biến thể 2. Cho số nguyên không âm $n$. Châu chấu bắt đầu tại 0 trên trục số thực và thực hiện $n+1$ bước sang phải có các độ dài nguyên dương đôi một khác nhau $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n+1}$, theo thứ tự tùy ý. Cho $M$ là tập gồm $n$ số nguyên dương thuộc khoảng $(0, s)$, trong đó $s=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n+1}$. Chứng minh có thể sắp xếp các bước sao cho châu chấu không bao giờ đáp xuống điểm thuộc $M$.
Biến thể 2. Cho số nguyên không âm $n$. Châu chấu bắt đầu tại 0 trên trục số thực và thực hiện $n+1$ bước sang phải có các độ dài nguyên dương đôi một khác nhau $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n+1}$, theo thứ tự tùy ý. Cho $M$ là tập gồm $n$ số nguyên dương thuộc khoảng $(0, s)$, trong đó $s=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n+1}$. Chứng minh có thể sắp xếp các bước sao cho châu chấu không bao giờ đáp xuống điểm thuộc $M$.