Câu hỏi 15
Với mỗi số nguyên $n \geq 2$, tính số nguyên $h(n)$ bằng thủ tục sau trên biểu diễn thập phân. Gọi $r$ là chữ số ngoài cùng bên phải của $n$.
(1) Nếu $r=0$, biểu diễn thập phân của $h(n)$ thu được từ $n$ bằng cách bỏ chữ số 0 ngoài cùng bên phải.
(2) Nếu $1 \leq r \leq 9$, tách biểu diễn thập phân của $n$ thành phần bên phải dài nhất $R$, chỉ gồm các chữ số không nhỏ hơn $r$, và phần bên trái $L$, rỗng hoặc kết thúc bằng một chữ số nhỏ hơn $r$. Biểu diễn thập phân của $h(n)$ gồm biểu diễn của $L$, rồi hai bản sao liên tiếp của biểu diễn $R-1$. Ví dụ, với $n=17,151,345,543$, ta có $L=17,151, R=345,543$ và $h(n)=17,151,345,542,345,542$.
Chứng minh từ số nguyên tùy ý $n \geq 2$, áp dụng lặp lại $h$ sẽ thu được số 1 sau hữu hạn bước.
(1) Nếu $r=0$, biểu diễn thập phân của $h(n)$ thu được từ $n$ bằng cách bỏ chữ số 0 ngoài cùng bên phải.
(2) Nếu $1 \leq r \leq 9$, tách biểu diễn thập phân của $n$ thành phần bên phải dài nhất $R$, chỉ gồm các chữ số không nhỏ hơn $r$, và phần bên trái $L$, rỗng hoặc kết thúc bằng một chữ số nhỏ hơn $r$. Biểu diễn thập phân của $h(n)$ gồm biểu diễn của $L$, rồi hai bản sao liên tiếp của biểu diễn $R-1$. Ví dụ, với $n=17,151,345,543$, ta có $L=17,151, R=345,543$ và $h(n)=17,151,345,542,345,542$.
Chứng minh từ số nguyên tùy ý $n \geq 2$, áp dụng lặp lại $h$ sẽ thu được số 1 sau hữu hạn bước.