Trong hệ tọa độ vuông góc $xOy$, gọi $\Gamma$ là đồ thị của hàm số $y=\frac1{|x|}$. Hai điểm $P,Q$ thuộc $\Gamma$ thỏa mãn: $P$ nằm trong góc phần tư thứ nhất, $Q$ nằm trong góc phần tư thứ hai và đường thẳng $PQ$ tiếp xúc với nhánh của $\Gamma$ trong góc phần tư thứ hai tại $Q$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $|PQ|$.
Như Hình 11.1, hình lập phương $ABCD$–$EFGH$ có cạnh bằng $2$. Lấy tùy ý điểm $P_1$ trên đường tròn nội tiếp hình vuông $ABFE$, điểm $P_2$ trên đường tròn nội tiếp hình vuông $BCGF$ và điểm $P_3$ trên đường tròn nội tiếp hình vuông $EFGH$. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của $|P_1P_2|+|P_2P_3|+|P_3P_1|$.
Như Hình 11.1, trong hệ tọa độ vuông góc $xOy$, các tiêu điểm trái và phải của elip $\Gamma:\frac{x^2}{2}+y^2=1$ lần lượt là $F_1,F_2$. Lấy điểm $P$ thuộc $\Gamma$ trong góc phần tư thứ nhất; các tia $PF_1,PF_2$ cắt lại $\Gamma$ lần lượt tại $Q_1,Q_2$. Gọi $r_1,r_2$ lần lượt là bán kính các đường tròn nội tiếp tam giác $PF_1Q_2$ và $PF_2Q_1$. Tìm giá trị lớn nhất của $r_1-r_2$.
Cho các số thực $a,b$ và hàm số $f(x)=x^3+ax^2+bx$. Giả sử tồn tại ba số thực $x_1,x_2,x_3$ thỏa mãn $x_1+1\leq x_2\leq x_3-1$ và $f(x_1)=f(x_2)=f(x_3)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $|a|+2|b|$.
Như Hình 11.1, trong hệ tọa độ vuông góc $xOy$, các tiêu điểm trái và phải của elip $\Gamma:\frac{x^2}{2}+y^2=1$ lần lượt là $F_1,F_2$. Lấy điểm $P$ thuộc $\Gamma$ trong góc phần tư thứ nhất; các tia $PF_1,PF_2$ cắt lại $\Gamma$ lần lượt tại $Q_1(x_1,y_1),Q_2(x_2,y_2)$.
Trong một bữa tiệc tối có $N$ chủ nhà và $N$ khách ngồi quanh một bàn tròn, với $N\geq4$. Hai người khách sẽ trò chuyện với nhau nếu giữa họ có nhiều nhất một người, hoặc có đúng hai người mà ít nhất một người trong đó là chủ nhà. Chứng minh rằng bất kể cách xếp chỗ của $2N$ người, có ít nhất $N$ cặp khách sẽ trò chuyện với nhau.
Một hàm số $f$ từ tập các số nguyên dương vào tập các số nguyên dương được gọi là hàm Canada nếu
$$\gcd(f(f(x)),f(x+y))=\gcd(x,y)$$
với mọi cặp số nguyên dương $x,y$.
Tìm tất cả các số nguyên dương $m$ sao cho $f(m)=m$ đối với mọi hàm Canada $f$.
Nina và Tadashi chơi trò chơi sau. Ban đầu, một bộ ba $(a,b,c)$ gồm các số nguyên không âm thỏa mãn $a+b+c=2021$ được viết lên bảng. Hai người lần lượt đi, Nina đi trước. Ở mỗi lượt, người chơi chọn một số nguyên dương $k$ và một trong ba số trên bảng; sau đó tăng số đã chọn thêm $k$ và giảm mỗi số còn lại đi $k$. Một người thua nếu trong lượt của mình, có số trên bảng trở thành âm.
Tìm số bộ ba ban đầu $(a,b,c)$ mà với chúng Tadashi có chiến lược thắng.
Cho các số nguyên dương $m,n$ và các số thực không âm $a_{ij}$ ($1\le i\le m$, $1\le j\le n$) sao cho với mọi $i,j$,
$$a_{i,1}\ge a_{i,2}\ge\dots\ge a_{i,n},\qquad a_{1,j}\ge a_{2,j}\ge\dots\ge a_{m,j}.$$
Với $i=1,2,\dots,m$ và $j=1,2,\dots,n$, đặt
$$X_{i,j}=a_{1,j}+\dots+a_{i-1,j}+a_{i,j}+a_{i,j-1}+\dots+a_{i,1},$$
$$Y_{i,j}=a_{i,j}+a_{i+1,j}+\dots+a_{m,j}+a_{i,j+1}+\dots+a_{i,n}.$$
Chứng minh rằng
$$\prod_{i=1}^{m}\prod_{j=1}^{n}X_{i,j}\ge\prod_{i=1}^{m}\prod_{j=1}^{n}Y_{i,j}.$$
Cho đa giác lồi $n$ cạnh ($n\ge5$) $\Omega=P_1P_2\dots P_n$, trong đó không có ba đường chéo nào đồng quy tại một điểm bên trong $\Omega$. Chứng minh rằng có thể chọn một điểm bên trong mỗi tứ giác $P_iP_jP_kP_l$ ($1\le i\lt j\lt k\lt l\le n$), không nằm trên bất kỳ đường chéo nào của $\Omega$, sao cho $\binom n4$ điểm được chọn đôi một khác nhau và đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ trong số đó đều cắt ít nhất một đường chéo của $\Omega$.
(Đề xuất bởi Leng Fusheng)
Cho số nguyên $n\ge2$. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $m$ sao cho tồn tại $n^2$ số thực dương đôi một khác nhau $x_{i,j}$ ($1\le i,j\le n$) thỏa mãn:
(1) Với mọi $i,j$,
$$x_{i,j}=\max\{x_{i,1},x_{i,2},\dots,x_{i,j}\}\quad\text{hoặc}\quad x_{i,j}=\max\{x_{1,j},x_{2,j},\dots,x_{i,j}\}.$$
(2) Với mỗi $i$, có nhiều nhất $m$ chỉ số $k$ sao cho
$$x_{i,k}=\max\{x_{i,1},x_{i,2},\dots,x_{i,k}\}.$$
(3) Với mỗi $j$, có nhiều nhất $m$ chỉ số $k$ sao cho
$$x_{k,j}=\max\{x_{1,j},x_{2,j},\dots,x_{k,j}\}.$$
Cho các số nguyên dương $n,k$ thỏa mãn $n\gt k^2\gt4$. Trong một bảng ô vuông $n\times n$, gọi $k$ ô thuộc các hàng đôi một khác nhau và các cột đôi một khác nhau là một $k$-bộ. Tìm số nguyên dương lớn nhất $N$ sao cho có thể chọn và tô màu $N$ ô của bảng theo một cách mà trong mỗi $k$-bộ gồm toàn các ô đã tô màu, có hai ô cùng màu và cũng có hai ô khác màu.
Cho các số nguyên dương $k,n$ với $n\ge2$. Tìm hằng số nhỏ nhất $c$ sao cho khẳng định sau đúng: nếu $G$ là một đồ thị đơn chính quy bậc $kn$ (mỗi đỉnh có bậc $kn$) với $m$ đỉnh thì có thể tô mỗi đỉnh bằng một trong $n$ màu sao cho số “cạnh đơn sắc” không vượt quá $cm$. Một cạnh đơn sắc là cạnh có hai đầu mút cùng màu.
Cho $2021$ số nguyên dương đôi một khác nhau $a_1,a_2,\dots,a_{2021}$. Định nghĩa dãy $\{a_n\}$ bằng quy nạp: với mỗi số nguyên $n\ge2022$, $a_n$ là số nguyên dương nhỏ nhất khác tất cả $a_1,\dots,a_{n-1}$ và không là ước của tích $a_{n-1}a_{n-2}\cdots a_{n-2021}$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $M$ sao cho mọi số nguyên lớn hơn hoặc bằng $M$ đều xuất hiện trong dãy $\{a_n\}$.
Như mô tả ở Hình 2.1, cho tam giác nhọn $ABC$ với $AB\lt AC$, tâm nội tiếp $I$ và đường tròn ngoại tiếp tâm $O$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của cung $BAC$ và cung $BC$ không chứa $A$. Lấy $D$ trên cung $AC$ sao cho $AD\parallel BC$. Đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh $A$ tiếp xúc với $BC$ tại $E$. Điểm $F$ nằm trong tam giác $ABC$ thỏa mãn $IF\parallel BC$ và $\angle BAF=\angle CAE$. Đường thẳng $NF$ cắt lại đường tròn ngoại tiếp tại $R\ne N$; $AF$ và $DI$ cắt nhau tại $K$; $AR$ và $IF$ cắt nhau tại $L$. Chứng minh $NK\perp ML$.
Lưu ý hiệu đính từ bản nguồn: Ký hiệu $\odot O$ chỉ đường tròn ngoại tiếp tâm $O$, không phải bản thân tâm như câu tiếng Anh ghi. Cụm “inscribed circle ... against $\angle BAC$” được hiểu là đường tròn bàng tiếp đối diện $A$, phù hợp với việc nguồn dùng tính chất bàng tiếp $BZ=CE$ trong chứng minh; không phải đường tròn nội tiếp. Các nhãn Hình 2.1–2.3 có trong văn bản nguồn nhưng bản ghi không chứa ảnh hoặc đường dẫn ảnh tương ứng.
Tìm hằng số lớn nhất $C\gt0$ sao cho với mọi số nguyên $n\ge2$, tồn tại các số thực $x_1,x_2,\ldots,x_n\in[-1,1]$ thỏa mãn
$$\prod_{1\le i\lt j\le n}(x_i-x_j)\ge C^{\frac{n(n-1)}2}.$$
Gọi $S(k)$ là tổng các chữ số của $k$ trong hệ thập phân. Tìm tất cả các số nguyên $n\ge2$ và các số hữu tỉ $\beta\in(0,1)$ sao cho tồn tại $n$ số nguyên dương đôi một khác nhau $a_1,a_2,\ldots,a_n$ thỏa mãn: với mọi tập con $I\subseteq\{1,2,\ldots,n\}$ có ít nhất hai phần tử,
$$S\left(\sum_{i\in I}a_i\right)=\beta\sum_{i\in I}S(a_i).$$
Với mỗi số nguyên dương $n$, gọi $\varphi(n)$ là số các số nguyên dương không vượt quá $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$. Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{N}_+\to\mathbb{N}_+$ sao cho với mọi số nguyên dương $m,n$ thỏa mãn $m\ge n$,
$$f(m\varphi(n^3))=f(m)\varphi(n^3).$$
Với mỗi số nguyên dương $N$, gọi $\tau(N)$ là số ước dương của $N$; $\omega(N)$ là số ước nguyên tố phân biệt của $N$; và $\Omega(N)$ là số thừa số nguyên tố của $N$, có tính cả số lần lặp. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$,
$$\sum_{m=1}^{n}5^{\omega(m)}\le\sum_{k=1}^{n}\left\lfloor\frac nk\right\rfloor\tau(k)^2\le\sum_{m=1}^{n}5^{\Omega(m)}.$$
Ở đây, $\lfloor x\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$.
