Câu hỏi 20
Với mỗi số nguyên dương $N$, gọi $\tau(N)$ là số ước dương của $N$; $\omega(N)$ là số ước nguyên tố phân biệt của $N$; và $\Omega(N)$ là số thừa số nguyên tố của $N$, có tính cả số lần lặp. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$,
$$\sum_{m=1}^{n}5^{\omega(m)}\le\sum_{k=1}^{n}\left\lfloor\frac nk\right\rfloor\tau(k)^2\le\sum_{m=1}^{n}5^{\Omega(m)}.$$
Ở đây, $\lfloor x\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$.
$$\sum_{m=1}^{n}5^{\omega(m)}\le\sum_{k=1}^{n}\left\lfloor\frac nk\right\rfloor\tau(k)^2\le\sum_{m=1}^{n}5^{\Omega(m)}.$$
Ở đây, $\lfloor x\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$.