Câu hỏi 12
Các hàng và cột của bảng vuông $3 n \times 3 n$ được đánh số $1,2, \ldots, 3 n$. Ô $(x, y)$, với $1 \leq x, y \leq 3 n$, được tô màu asparagus, byzantium hoặc citrine tùy số dư của $x+y$ theo môđun 3 lần lượt là 0, 1 hoặc 2. Mỗi ô có một quân màu asparagus, byzantium hoặc citrine, với $3 n^{2}$ quân mỗi màu.
Giả sử có thể hoán vị các quân sao cho mỗi quân được di chuyển một khoảng cách không quá $d$ từ vị trí ban đầu; mỗi quân asparagus thay chỗ quân byzantium, mỗi quân byzantium thay chỗ quân citrine, và mỗi quân citrine thay chỗ quân asparagus. Chứng minh có thể hoán vị các quân sao cho mỗi quân được di chuyển một khoảng cách không quá $d+2$, và mỗi ô chứa một quân cùng màu với ô.
Giả sử có thể hoán vị các quân sao cho mỗi quân được di chuyển một khoảng cách không quá $d$ từ vị trí ban đầu; mỗi quân asparagus thay chỗ quân byzantium, mỗi quân byzantium thay chỗ quân citrine, và mỗi quân citrine thay chỗ quân asparagus. Chứng minh có thể hoán vị các quân sao cho mỗi quân được di chuyển một khoảng cách không quá $d+2$, và mỗi ô chứa một quân cùng màu với ô.