Cho $ABCD$ là một tứ giác nội tiếp với $\angle BAD \lt \angle ADC$. Gọi $M$ là trung điểm của cung $CD$ không chứa $A$. Giả sử có một điểm $P$ nằm bên trong tứ giác $ABCD$ sao cho $\angle ADB = \angle CPD$ và $\angle ADP = \angle PCB$.
Chứng minh rằng các đường thẳng $AD$, $PM$, $BC$ đồng quy.
Cho tam giác nhọn $ABC$ với $AB \lt AC$. Kí hiệu đường tròn ngoại tiếp của nó là $\Omega$ và gọi $S$ là trung điểm của $\operatorname{arc} CAB$. Đường vuông góc hạ từ $A$ xuống $BC$ cắt $BS$ và $\Omega$ lần lượt tại $D$ và $E \neq A$. Đường thẳng qua $D$ song song với $BC$ cắt đường thẳng $BE$ tại $L$, và kí hiệu đường tròn ngoại tiếp tam giác $BDL$ là $\omega$. Đường tròn $\omega$ cắt $\Omega$ lần thứ hai tại $P \neq B$.
Chứng minh rằng tiếp tuyến của $\omega$ tại $P$ và đường thẳng $BS$ cắt nhau trên đường phân giác trong của $\angle BAC$.
Cho $ABC$ là một tam giác đều. Các điểm $A_1$, $B_1$, $C_1$ nằm bên trong tam giác $ABC$ sao cho tam giác $A_1B_1C_1$ là tam giác thường (ba cạnh đôi một khác nhau), $BA_1 = A_1C$, $CB_1 = B_1A$, $AC_1 = C_1B$ và
$$
\angle BA_1C + \angle CB_1A + \angle AC_1B = 480^\circ.
$$
Các đường thẳng $BC_1$ và $CB_1$ cắt nhau tại $A_2$; các đường thẳng $CA_1$ và $AC_1$ cắt nhau tại $B_2$; và các đường thẳng $AB_1$ và $BA_1$ cắt nhau tại $C_2$.
Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác $AA_1A_2$, $BB_1B_2$, $CC_1C_2$ có hai điểm chung.
Tìm tất cả các hợp số dương $n$ thỏa mãn tính chất sau: nếu các ước dương của $n$ là $1=d_{1}\lt d_{2}\lt\cdots\lt d_{k}=n$, thì $d_{i}$ chia hết $d_{i+1}+d_{i+2}$ với mọi $1 \leqslant i \leqslant k-2$.
Cho $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}$ là $2n$ số nguyên dương sao cho $n+1$ tích
$$
\begin{gathered}
a_{1} a_{2} a_{3} \cdots a_{n}, \\
b_{1} a_{2} a_{3} \cdots a_{n}, \\
b_{1} b_{2} a_{3} \cdots a_{n}, \\
\vdots \\
b_{1} b_{2} b_{3} \cdots b_{n}
\end{gathered}
$$
theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng tăng ngặt. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất có thể là công sai của một cấp số cộng như vậy.
Cho $a_{1} \lt a_{2} \lt a_{3} \lt \cdots$ là các số nguyên dương sao cho $a_{k+1}$ chia hết $2(a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{k})$ với mọi $k \geqslant 1$. Giả sử rằng với vô hạn số nguyên tố $p$, tồn tại $k$ sao cho $p$ chia hết $a_{k}$. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$, tồn tại $k$ sao cho $n$ chia hết $a_{k}$.
Một dãy số nguyên $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots$ được gọi là kawaii nếu $a_{0}=0, a_{1}=1$, và với mọi số nguyên dương $n$, ta có
$$
\left(a_{n+1}-3 a_{n}+2 a_{n-1}\right)\left(a_{n+1}-4 a_{n}+3 a_{n-1}\right)=0 .
$$
Một số nguyên được gọi là kawaii nếu nó thuộc một dãy kawaii nào đó.
Giả sử hai số nguyên dương liên tiếp $m$ và $m+1$ đều là kawaii (không nhất thiết thuộc cùng một dãy kawaii). Chứng minh rằng $3$ chia hết $m$, và $m / 3$ là kawaii.
Cho $a, b, c, d$ là các số nguyên dương thỏa mãn
$$
\frac{a b}{a+b}+\frac{c d}{c+d}=\frac{(a+b)(c+d)}{a+b+c+d}
$$
Tìm tất cả các giá trị có thể của $a+b+c+d$.
Kí hiệu $\mathbb{Z}_{\gt 0}$ là tập các số nguyên dương. Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{Z}_{\gt 0} \rightarrow \mathbb{Z}_{\gt 0}$ sao cho
$$
f^{b f(a)}(a+1) = (a+1) f(b)
$$
đúng với mọi $a, b \in \mathbb{Z}_{\gt 0}$, trong đó $f^{k}(n) = f(f(\cdots f(n) \cdots))$ kí hiệu hợp của $f$ với chính nó $k$ lần.
Cho $r \gt 0$ là một số thực. Tất cả các điểm trong của hình tròn $D(r)$ bán kính $r$ được tô bởi một trong hai màu, đỏ hoặc xanh.
1. Nếu $r \gt \frac{\pi}{\sqrt{3}}$, chứng minh rằng ta có thể tìm được hai điểm $A$ và $B$ nằm trong hình tròn sao cho khoảng cách $AB = \pi$ và $A$ và $B$ cùng màu.
2. Kết luận ở (a) có còn đúng không nếu $r \gt \frac{\pi}{2}$?
Alice có một số nguyên $N \gt 1$ được viết trên bảng. Mỗi phút, cô xóa số hiện tại $x$ trên bảng và viết $2x + 1$ nếu $x$ không phải là lập phương của một số nguyên, hoặc viết căn bậc ba của $x$ trong trường hợp ngược lại. Chứng minh rằng tại một thời điểm nào đó, cô viết một số lớn hơn $10^{100}$.
Cho $N \ge 3$ là một số nguyên. Ở đất nước Sibyl có $N^2$ thị trấn được bố trí tại các đỉnh của một lưới $N \times N$, và mỗi cặp thị trấn tương ứng với một cặp đỉnh kề nhau trên lưới được nối bởi một con đường. Một số máy bay không người lái tự động, mỗi chiếc được lệnh đi theo một đường đi hình chữ nhật, xuất phát và kết thúc tại cùng một thị trấn, men theo các con đường của đất nước. Hóa ra mỗi con đường đều được ít nhất một máy bay đi qua. Xác định số máy bay nhỏ nhất phải hoạt động.
Cho $f, g$ là các hàm số $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sao cho
$$
f(g(x) + y) = g(x + y) \quad \forall x, y \in \mathbb{R}
$$
khi đó hoặc $f$ là hàm đồng nhất¹ hoặc $g$ là hàm tuần hoàn².
Cho $k$ là một số nguyên dương. Một dãy số nguyên $\langle a_i \rangle_{i=1}^\infty$ được gọi là $k$-pop nếu điều sau đúng: với mọi $n \in \mathbb{N}$, $a_n$ bằng số phần tử phân biệt trong tập hợp $\{a_1, \dots, a_{n+k}\}$. Xác định, theo $k$, có bao nhiêu dãy $k$-pop.
Cho $ABC$ là tam giác cân với $AB = AC$. Giả sử $P, Q, R$ lần lượt là các điểm trên các đoạn $AC, AB, BC$ sao cho $AP = QB$, $\angle PBC = 90 - \angle BAC$ và $RP = RQ$. Gọi $O_1, O_2$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của $\triangle APQ$ và $\triangle CRP$. Chứng minh rằng $BR = O_1O_2$.
Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ sao cho $f(x) + y$ và $f(y) + x$ có cùng số chữ số 1 trong biểu diễn nhị phân với mọi $x, y \in \mathbb{N}$.
Giả sử tam giác nhọn không cân $ABC$ có tâm đường tròn nội tiếp $I$ và đường tròn nội tiếp tiếp xúc với $BC$ tại $D$. Gọi $Z$ là điểm xuyên tâm đối của $A$ trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Điểm $L$ được chọn trên đường phân giác trong của $\angle BZC$ sao cho $AL = LI$. Gọi $M$ là trung điểm của cung $BZC$, và gọi $V$ là trung điểm của $ID$. Chứng minh rằng $\angle IML = \angle DVM$.
Trong tam giác $ABC$, gọi $D$ là chân đường vuông góc hạ từ $A$ xuống đường thẳng $BC$. Điểm $K$ nằm trong tam giác $ABC$ sao cho $\angle KAB = \angle KCA$ và $\angle KAC = \angle KBA$. Đường thẳng qua $K$ vuông góc với đường thẳng $DK$ cắt đường tròn đường kính $BC$ tại các điểm $X$ và $Y$. Chứng minh rằng $AX \cdot DY = DX \cdot AY$.
Trong một trường học, mỗi cặp học sinh hoặc là bạn bè hoặc là người lạ. Một dãy các học sinh (không nhất thiết phân biệt) $A_1, A_2, \dots, A_{2023}$ được gọi là *tinh nghịch* nếu
* Tổng số bạn của $A_1$ là số lẻ.
* $A_i$ và $A_{i+1}$ là bạn bè với $i = 1, 2, \dots, 2022$.
* Tổng số bạn của $A_{2023}$ là số chẵn.
Chứng minh rằng tổng số dãy *tinh nghịch* là số chẵn.
Chứng minh rằng với mọi số nguyên $k \gt 2$, tồn tại $k$ số nguyên dương phân biệt $a_1, \dots, a_k$ sao cho
$$
\sum_{1 \le i \lt j \le k} \frac{1}{a_i a_j} = 1.
$$