Câu hỏi 6
Cho $a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{10}$ là các số nguyên sao cho với mỗi $i \in \{0,1,\ldots,2047\}$, tồn tại một tập con $S \subseteq \{0,1,\ldots,10\}$ thỏa mãn
$$
\sum_{j \in S} a_{j} \equiv i \pmod{2048}.
$$
Chứng minh rằng với mỗi $i \in \{0,1,\ldots,10\}$, có đúng một $j \in \{0,1,\ldots,10\}$ sao cho $a_{j}$ chia hết cho $2^{i}$ nhưng không chia hết cho $2^{i+1}$.
Chú ý: $\sum_{j \in S} a_{j}$ là kí hiệu tổng, chẳng hạn $\sum_{j \in \{2,5\}} a_{j} = a_{2} + a_{5}$, còn với tập rỗng $\varnothing$, ta quy ước $\sum_{j \in \varnothing} a_{j} = 0$.
$$
\sum_{j \in S} a_{j} \equiv i \pmod{2048}.
$$
Chứng minh rằng với mỗi $i \in \{0,1,\ldots,10\}$, có đúng một $j \in \{0,1,\ldots,10\}$ sao cho $a_{j}$ chia hết cho $2^{i}$ nhưng không chia hết cho $2^{i+1}$.
Chú ý: $\sum_{j \in S} a_{j}$ là kí hiệu tổng, chẳng hạn $\sum_{j \in \{2,5\}} a_{j} = a_{2} + a_{5}$, còn với tập rỗng $\varnothing$, ta quy ước $\sum_{j \in \varnothing} a_{j} = 0$.