Đối với các số nguyên dương tùy ý $a, b$, biểu thị $a \ominus b = \frac{a-b}{\text{GCD}(a,b)}$. Cho $n$ là một số nguyên dương. Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương: (i) $\text{GCD}(n, n \ominus m) = 1$ với mọi số nguyên dương $m \lt n$; (ii) $n = p^k$ trong đó $p$ là số nguyên tố và $k$ là số nguyên không âm.
Bốn chàng lính ngự lâm đã cùng nhau mua một mảnh đất hình chữ nhật và trả tiền cho nó như nhau. Họ chia cốt truyện bằng hai vết cắt thành bốn mảnh hình chữ nhật, từ đó mỗi người lính ngự lâm đều có một. Hóa ra là một người lính ngự lâm có được nhiều đất hơn tổng cộng ba người kia. Chứng minh rằng giá trên mỗi mẫu Anh của một người lính ngự lâm hóa ra lớn bằng tổng giá trên một mẫu Anh của ba tác phẩm của lính ngự lâm khác. (đàn em.)
Trong tam giác nhọn $ABC$ góc $C$ lớn hơn góc $A$. Cho $AE$ là đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Cho giao điểm của tia $AC$ và tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp qua đỉnh $B$ là $K$. Đường vuông góc với $AE$ qua $K$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCK$ lần thứ hai tại điểm $D$. Chứng minh rằng $CE$ chia đôi góc $BCD$.
Đường tròn $c$ đi qua các đỉnh $A$ và $B$ của một tam giác cân $ABC$, theo đó dòng $AC$ là tiếp tuyến với nó. Chứng minh rằng đường tròn $c$ đi qua tâm đường tròn hoặc tâm hoặc tâm tam giác $ABC$. (Người cao niên.)
Một ổ bi bao gồm hai hình trụ có cùng trục và $n$ giữa chúng. Tâm của tất cả các quả bóng nằm trên cùng một mặt phẳng vuông góc với trục của các hình trụ và mỗi quả bóng chạm vào cả hai hình trụ và hai quả bóng liền kề. Gọi $r$ là bán kính của các quả bóng và để $R$ là bán kính của hình trụ bên ngoài. Chứng minh rằng $r/R \lt \frac{\pi}{n+\frac{\pi}{n}}$. (Lớp 11.)
Cho các góc của một tam giác là $\alpha$, $\beta$ và $\gamma$, chu vi $2p$ và bán kính của đường tròn $R$. Chứng minh bất đẳng thức $$
cot^2 \alpha + cot^2 \beta + cot^2 \gamma \ge 3 \left( \frac{9R^2}{p^2} - 1 \right).
$$ khi nào đạt được đẳng thức?
Trong một thành phố tọa độ có các đường xe điện $n \ge 3$ song song với trục $x$ sao cho mỗi dòng bắt đầu từ $x$-tọa độ $0$ và kết thúc tại $x$-Coordinate $n$. chính xác một xe điện có chiều dài $1$ đang di chuyển trên mỗi dòng: trên dòng đầu tiên với tốc độ $1$, trên dòng thứ hai với tốc độ $2$, v.v., cho đến khi ở dòng cuối cùng với tốc độ $n$. Khi một chiếc xe điện đến cuối dòng, nó ngay lập tức bắt đầu di chuyển trở lại mà không quay đầu lại. Vào buổi sáng, tất cả các xe điện bắt đầu di chuyển cùng một lúc từ vị trí xuất phát, nơi tọa độ $x$ của đầu sau của xe điện là $0$. Chứng minh rằng các hình chiếu của xe điện lên trục $x$ không bao giờ bao gồm toàn bộ khoảng thời gian từ $0$ đến $n$. (Lớp 12.)
Gọi một số nguyên dương $n$ nguyên tố nếu tồn tại ít nhất ba số nguyên tố mà từ đó chúng ta có thể nhận được $n$ bằng cách loại bỏ chữ số cuối cùng. Chứng minh rằng cứ hai số nguyên dương có số nguyên tố khác nhau ít nhất là $3$. (đàn em.)
Mỗi ô vuông đơn vị của bảng $n \times n$ được tô màu đỏ hoặc xanh lam để trong số tất cả các ô vuông $2 \times 2$ trên bảng này, tất cả các màu có thể có của hình vuông $2 \times 2$ với hai màu này được thể hiện (thu được màu thu được từ nhau bằng cách quay và phản xạ được coi là khác nhau).
a) Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của $n$.
b) Đối với giá trị nhỏ nhất có thể của $n$ Tìm số bình phương đơn vị màu đỏ ít nhất có thể.
Gọi $a$ và $b$ là độ dài của các chân của một tam giác vuông cho trước. Chứng minh rằng góc $\varphi$, trong đó $0 \lt \varphi \lt 90^\circ$, là một góc nhọn của tam giác này nếu và chỉ khi $(a \cos \varphi + b \sin \varphi)(a \sin \varphi + b \cos \varphi) = 2ab$. (Người cao niên.)
Cho $P(x, y)$ là một đa thức đồng nhất không liên tục với các hệ số thực sao cho $P(\sin t, \cos t) = 1$ với mọi số thực $t$. Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên dương $k$ sao cho $P(x, y) = (x^2 + y^2)^k$.
Cho $n \ge 2$. Các số nguyên dương $a_1, a_2, \dots, a_n$ có tổng là chẵn và thỏa mãn $a_i \le i$ cho mọi $i = 1, 2, \dots, n$, được đưa ra. Chứng minh rằng có thể chọn các dấu hiệu trong biểu thức $a_1 \pm a_2 \pm \dots \pm a_n$ sao cho giá trị của nó trở thành $0$. (Người cao niên.)
Juku đã vẽ một hình lục giác đều và chọn ba hình tam giác với các khu vực khác nhau có đỉnh nằm trong số các đỉnh của hình lục giác. Chứng minh rằng tổng các diện tích của các tam giác bằng diện tích của hình lục giác.
Cho $a$, $b$ và $c$ là số nguyên dương sao cho $ab$ được chia hết cho $2c$, $bc$ được chia hết cho $3a$ và $ca$ được chia hết cho $5b$. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của $abc$.
$A'$, $B'$ và $C'$ được chọn tương ứng ở các cạnh $AB$, $BC$, và $CA$ của tam giác đều $ABC$ sao cho $\frac{|A'B|}{|AB|} = \frac{|B'C|}{|BC|} = \frac{|C'A|}{|CA|} = k$. Tìm tất cả các số thực dương $k$ mà diện tích tam giác $A'B'C'$ chính xác là một nửa diện tích của tam giác $ABC$.
Trong $n$-GON thông thường, $0$ hoặc $1$ được viết tại mỗi đỉnh. Sử dụng các đường chéo không giao nhau, Juku chia đa giác này thành các hình tam giác. Sau đó, anh ta viết vào mỗi tam giác tổng các số tại các đỉnh của nó. Chứng minh rằng Juku có thể chọn các đường chéo theo cách mà số cực đại và tối thiểu được ghi vào các tam giác khác nhau tối đa là $1$. (Người cao niên.)
Trong buffet của bếp có ba hộp kẹo, mỗi hộp đựng số kẹo như nhau. Mỗi khi Juku vào bếp, anh ta lấy ba viên kẹo từ một hộp hoặc một viên kẹo từ mỗi hộp. Chứng minh rằng không phân biệt Juku lấy kẹo như thế nào, anh ta luôn giữ được khả năng hoàn toàn làm sạch tất cả các hộp kẹo. (đàn em.)
Gọi * tinh khiết * bất kỳ số nguyên dương nào $n$ không xảy ra trong bất kỳ chuỗi số nguyên nào $c_0, c_1, c_2, \dots$, trong đó $0 \lt c_0 \lt n$ và $$
c_i = \begin{cases} \frac{1}{2}c_{i-1} & \text{nếu } c_{i-1} \text{ là thậm chí,} \\ 3c_{i-1} - 1 & \text{nếu } c_{i-1} \text{ là kỳ quặc,} \end{cases}
$$ cho mọi $i \ge 1$. (Ví dụ, $10$ không thuần túy vì nó xảy ra trong chuỗi $5, 14, 7, 20, 10, \ldots$ ...)
a) là mọi bội số dương của $3$ là tinh khiết?
b) Chứng minh rằng nếu một số nguyên $n \gt 1$ là thuần túy nhưng không chia hết cho $3$, thì $n + 1$ là chia hết cho $6$. (Người cao niên.)