MathNet 2005 — Phần 02

Tìm tất cả các số $n$ có thể biểu diễn dưới dạng $n = k + 2\lfloor\sqrt{k}\rfloor + 2$, trong đó $k$ là số nguyên không âm.

Cho $I$ là tâm nội tiếp của tam giác $ABC$, và $D$ là giao điểm của $AI$ với đường tròn ngoại tiếp $ABC$. Gọi $M$ là trung điểm của $AD$, và $E$ là điểm của đoạn $BD$ sao cho $IE$ vuông góc với $BD$. Nếu $IB + IE = \frac{AD}{2}$, $ME$ song song với $AB$ và điểm $M$ nằm trong đoạn thẳng $AI$, hãy xác định số đo các góc của tam giác $ABC$.

Nếu bạn muốn tô màu mỗi mục dương bằng một màu sử dụng số lượng màu lớn nhất có thể để đáp ứng điều kiện sau: Nếu, trong ký hiệu thập phân, số $B$ có thể thu được từ số $A$, loại bỏ $A$ khỏi các chữ số bằng nhau liên tiếp (aa) hoặc Bằng cách loại bỏ $A$ bốn chữ số liên tiếp tạo thành hai cặp bằng nhau và liên tiếp (abab), thì $A$ và $B$ có cùng màu. Ví dụ: 8, 833 và 22811 phải cùng màu và 72, 676772 và 173329898 phải cùng màu.
Xác định số lượng màu lớn nhất có thể được sử dụng.

Cho $n$ là một số nguyên dương sao cho có các ước số dương $k$ của $n$, $k \gt 1$, có tổng là số nguyên tố. Chứng minh rằng tích của các ước số $k$ đó nhỏ hơn hoặc bằng $n^{k-1}$.

Chúng tôi xem xét tất cả các chuỗi hữu hạn của các số hạng dương nhỏ hơn hoặc bằng $3$ và tổng lớn hơn $100$. Đối với một chuỗi $\alpha$ như vậy, chúng tôi xem xét một chuỗi con có tổng $S$ khác ít nhất có thể với $100$ và chúng tôi xác định khiếm khuyết của $\alpha$ bằng $|S-100|$. Tìm giá trị lớn nhất của lỗi khi $\alpha$ chạy qua tất cả các chuỗi đang được xem xét.

Hallar entero dương lớn nhất không chia hết cho $10$ là bội số của một số số có được bằng cách loại bỏ các chữ số liên tiếp trong phần thập phân của chúng, không có chữ số nào ở vị trí đầu tiên hoặc cuối cùng.

Một con bọ chét nhảy qua toàn bộ các điểm trên trục số. Trong nước đi đầu tiên, anh ta nhảy từ điểm $0$ và tiếp đất ở điểm $1$. Sau đó, nếu trong một chuyển động, con bọ chét nhảy từ điểm $a$ và đáp xuống điểm $b$, thì trong chuyển động tiếp theo, nó nhảy từ điểm $b$ và rơi xuống một trong các điểm $b + (b - a) - 1$, $b + (b - a)$, $b + (b - a) + 1$.

Chứng minh rằng nếu con bọ chét đã rơi hai lần vào điểm $n$, đối với $n$ số nguyên dương, thì nó phải thực hiện ít nhất các chuyển động $t$, trong đó $t$ là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng $2\sqrt{n}$.

Trong hình thang $ABCD$, tổng hai đáy $AB$ và $CD$ bằng đường chéo $BD$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ và $E$ là điểm đối xứng của $C$ đối với đường thẳng $DM$. Chứng minh rằng $\angle AEB = \angle ACD$.

Xác định xem có tồn tại các số nguyên dương $x$, $y$, $z$ sao cho tích $(x + y)(y + z)(z + x)$ bằng:


a) $6767$


b) $7676$


c) $6776$

Trong mỗi trường hợp, nếu câu trả lời là khẳng định, hãy tìm tất cả các bộ ba có thứ tự $(x, y, z)$ thỏa mãn điều kiện.

Xung quanh một vòng tròn, một số số 0 nhất định và cùng một số số 1 đã được viết. Được biết, có chính xác $99$ bộ ba số liên tiếp chứa hai hoặc ba số 0. Xác định số bộ ba số liên tiếp nhỏ nhất chứa hai hoặc ba số đơn vị.

Đặt $a$, $b$, $c$, $d$ là bốn phần tử khác nhau của tập hợp $\{1, 2, 3, \ldots, 2005\}$, sao cho tổng của mỗi phần tử trong số chúng là bội số của phần thứ tư. Xác định giá trị lớn nhất mà $a + b + c + d$ có thể nhận.

Cho $p \gt 3$ là số nguyên tố. Có
$$
\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{(p-1)^2} = \frac{n}{m}
$$
trong đó ước chung lớn nhất của $n$ và $m$ là $1$, chứng tỏ $p^3$ chia hết $n$.

Cho hai số nguyên dương $a$ và $b$, $(a \nabla b)$ biểu thị phần còn lại thu được bằng cách chia $a$ cho $b$. Dư lượng này là một trong những con số $0, 1, \ldots, b-1$. Tìm tất cả các cặp số $(a, p)$ sao cho $p$ là số nguyên tố và thỏa mãn điều đó
$$
(a \nabla p) + (a \nabla 2p) + (a \nabla 3p) + (a \nabla 4p) = a + p.
$$

Cho $ABC$ là một tam giác sao cho khi dựng các hình vuông $ABB_1A_2$, $BCC_1B_2$ và $CAA_1C_2$ ở bên ngoài tam giác thì các điểm $A$, $B$ và $C$ vẫn nằm trong các tam giác $A_1B_1C_1$ và $A_2B_2C_2$. Chứng minh rằng hai tam giác $A_1B_1C_1$ và $A_2B_2C_2$ có cùng diện tích.

Cho một số nguyên dương $n$, các điểm căn chỉnh $2n$ trong một mặt phẳng được coi là $A_1, A_2, \dots, A_{2n}$. Mỗi điểm được tô màu xanh lam hoặc đỏ theo quy trình sau: Trên mặt phẳng đã cho, vẽ các đường tròn $n$ có đường kính cuối $A_i$ và $A_j$, tách rời nhau thành hai phần. Mỗi $A_k$, $1 \le k \le 2n$, thuộc về đúng một vòng tròn. Các điểm được tô màu sao cho hai điểm trên cùng một đường tròn có cùng màu.

Xác định có thể thu được bao nhiêu màu khác nhau của các điểm $2n$ bằng cách thay đổi chu vi $n$ và phân bố của hai màu.

Paladino có các thẻ $n$ được đánh số từ $1$ đến $n$ và chia chúng thành hai nhóm ($n \gt 1$). Một phép chia hoàn hảo nếu ít nhất một trong các nhóm chứa hai thẻ sao cho tổng các số trên các thẻ đó bằng bình phương của một số tự nhiên. Giá trị nhỏ nhất của $n$ mà tất cả các phép chia thẻ $n$ thành hai nhóm là hoàn hảo là bao nhiêu?

Cho $k$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng với mọi $n \gt k$ điều sau đây đúng:
Tồn tại các hình lồi $F_1, \dots, F_n$ và $F$ sao cho không có tập hợp con nào của các hình $k$ được chọn từ $F_1, \dots, F_n$ bao phủ hoàn toàn $F$, nhưng mọi tập hợp con của các hình $k+1$ được chọn từ $F_1, \dots, F_n$ đều bao phủ hoàn toàn $F$.

Alan phải chọn một số có 37 chữ số khác 0 và viết nó lên chiếc bánh pizza. Tiếp theo, Beto có thể xóa một số chữ số trong số của Alan (không phải tất cả). Mục tiêu của Beto là số mới rơi trên chiếc bánh pizza là bội số của 271. Hãy quyết định xem Alan có thể chọn số đó để Beto thấy rằng không thể đạt được mục tiêu của mình hay không.

Tìm tất cả các số có dạng $11\ldots1$ có bội số có dạng $10\ldots01$.

Cho $ABC$ là tam giác có các góc $\angle CAB$ và $\angle ABC$ lớn hơn $45^\circ$. $PQRS$ là hình vuông sao cho $P$ và $Q$ nằm trong cạnh $AB$ theo thứ tự $APQB$, $R$ nằm trong cạnh $BC$, $S$ nằm trong cạnh $CA$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ $P$ sang cạnh $CB$ và từ $Q$ đến cạnh $CA$. Nếu $H$ là giao điểm của $PM$ và $QN$ thì chứng tỏ $CH$ vuông góc với $AB$.