IMC 2008 — Keystage 3 (IWYMIC) — Thi cá nhân

Kiến xuất phát tại $(0,0)$ ở góc tây nam lưới $5\times5$, chỉ đi sang đông hoặc bắc theo đường lưới tới $(5,5)$. Không được qua bốn giao điểm hỏng $(1,1),(1,4),(4,1),(4,4)$. Có bao nhiêu đường đi khác nhau?

Số nguyên dương $a-2$ chia hết $3a^2-2a+10$. Tìm tổng mọi giá trị có thể của $a$.

Các số dương $a,b,c$ thỏa $a+b+c=11$ và $\frac1{b+c}+\frac1{c+a}+\frac1{a+b}=\frac{13}{17}$. Tính $\frac a{b+c}+\frac b{c+a}+\frac c{a+b}$.

Với $x$ thực, giá trị thực lớn nhất của $\sqrt{2008-x}-\sqrt{x-2000}$ là bao nhiêu?

Có bao nhiêu số mười chữ số chỉ dùng hai và ba, không có hai chữ số ba kề nhau?

Trên đường tròn có $n$ số có tổng chín mươi bốn. Mỗi số bằng giá trị tuyệt đối của hiệu hai số tiếp theo theo chiều kim đồng hồ. Tìm tổng mọi giá trị có thể của $n$.

Giảm chữ số hàng nghìn của số chính phương bốn chữ số đi ba, tăng hàng đơn vị thêm ba, được số chính phương bốn chữ số khác. Số ban đầu là bao nhiêu?

Đường gấp $A-B-C-D$ gồm các đoạn song song cạnh hình chữ nhật và chia đôi diện tích. Điểm $E$ trên chu vi khiến $AE$ cũng chia đôi diện tích. Cho $AB=30$, $BC=24$, $CD=10$ cm, tính $DE$ theo cm.

Cho $f(x)=ax^2-c$, $a,c$ thực, với $-4\le f(1)\le-1$, $-1\le f(2)\le2$. Tìm tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $f(8)$.

Hai gương đứng đối diện tạo góc ba mươi độ tại $V$. Tia ngang từ $S$, song song một gương, chạm gương kia tại $A$, rồi sau phản xạ trở về $S$. Nếu $SA=AV=1$ cm, tìm tổng quãng đường theo cm.

Số nguyên dương $n$ khiến $n^2-n+11$ là tích bốn số nguyên tố, có thể lặp. Tìm $n$ nhỏ nhất.

$ABC$ đều, $ABDE$ là hình chữ nhật có cạnh $DE$ qua $C$. Đường tròn nội tiếp $ABC$ bán kính một cm. Tính đường kính đường tròn qua $A,B,D,E$ theo cm.

Tính $\left\lfloor\sqrt{2008+\sqrt{2008+\sqrt{2008+\cdots}}}\right\rfloor$, có đúng $2008$ lần xuất hiện $2008$. Dấu ngoặc là số nguyên lớn nhất không vượt số đó.

Tam giác $ABC$ có $\angle ABC=60^\circ$, tâm ngoại tiếp $O$, trực tâm $H$. Các điểm $D\in BC$, $E\in AB$ thỏa $BD=BH$, $BE=BO$. Nếu $BO=1$ cm, tìm diện tích $BED$ theo cm vuông.

Số nguyên dương $t$ thỏa $2^t=a^b\pm1$ với $a,b$ nguyên lớn hơn một. Tìm mọi $t$.