IMC 2008 — Keystage 3 (IWYMIC) — Thi đội

Phân số $p/q$ tối giản có khai triển $0.ababab\ldots$. Hai chữ số $a,b$ có thể bằng nhau nhưng không đồng thời không. Có bao nhiêu tử số $p$ khác nhau?

Che ít ô nhất trong bảng số $8\times8$ đã cho để không có hai số bằng nhau chưa che cùng hàng hoặc cột. Hai ô chung cạnh không được cùng bị che.

Vẽ một đường kín không tự cắt qua các ô chung cạnh của bàn $8\times8$ đã cho. Đường phải qua mọi ô có vòng tròn nhưng không cần qua mọi ô. Tại vòng đen phải rẽ, nhưng cả ô trước và ô sau không được rẽ. Tại vòng trắng phải đi thẳng, nhưng phải rẽ tại ô trước hoặc sau, hoặc cả hai.

Xét hộp có kích thước nguyên $1\le a\le b\le c\le5$. Hộp lọt trong hộp khác khi và chỉ khi cả ba kích thước tương ứng không vượt kích thước kia. Chọn được nhiều nhất bao nhiêu hộp để không hộp nào lọt trong hộp khác?

Ban đầu bảng có một và bốn. Mỗi bước chọn các số $a,b$ trên bảng và viết thêm $c=ab+a+b$. Tìm số nhỏ nhất không dưới $2008$ có thể xuất hiện.

Tam giác tô trên lưới có ba cạnh dài ba, bốn, năm. Tìm mọi cách kéo dài một cạnh tới điểm mới để tam giác thu được có hai cạnh bằng nhau.

Tứ giác nội tiếp $ABCD$ thỏa $AB=AD$, hai đường chéo gặp tại $E$. Điểm $F\in AC$ thỏa $\angle BFC=\angle BAD$. Nếu $\angle BAD=2\angle DFC$, tính $BE/DE$.

Ngôi sao sáu cánh có mười hai vòng chứa số nguyên tố. Tổng bốn nguyên tố trên mỗi đường bằng nhau. Đã cho năm số, gồm số lớn nhất và nhỏ nhất trong mười hai số. Điền các vòng còn lại.

Chín đồng giống bề ngoài nặng $a$, bảy đồng mỗi đồng $b$, và $c$, với $a\lt b\lt c$. Dùng cân đĩa nhiều nhất bốn lần để xác định $a+c\lt 2b$, $a+c=2b$ hay $a+c\gt 2b$.

Tìm tổng mọi số nguyên dương $n$ thỏa $1+n+\frac{n(n-1)}2+\frac{n(n-1)(n-2)}6=2^k$ với $k$ nguyên dương.