2008 xIMC keystage2-EMIC team

$N$ có năm chữ số. Thêm $1$ bên phải được $P$; thêm $1$ bên trái được $Q$. Nếu $P=3Q$, tìm $N$.

Trong tam giác $ABC$, $X$ trên $AC$, $AX=15$ cm, $XC=5$ cm, $\angle AXB=60^\circ$, $\angle ABC=2\angle AXB$. Tìm $BC$.

Todd và Steven cùng xuất phát từ $A$, chạy qua lại trên đoạn $AB$ dài $950$ m trong $90$ phút. Vận tốc lần lượt $40$, $150$ m/phút. Chỉ tính lần gặp khi chạy ngược chiều về phía nhau. Lần gặp thứ mấy gần $B$ nhất?

Nhóm $A$: $\frac16,\frac1{12},\frac1{20},\frac1{30},\frac1{42}$. Nhóm $B$: $\frac18,\frac1{24},\frac1{48},\frac1{80}$. Nhóm $C$: $2.82,2.76,2.18,2.24$. Chọn mỗi nhóm một số rồi nhân. Tính tổng cả $80$ tích.

Trên bàn $8\times8$, vẽ một vòng kín không tự cắt qua mọi ô có đường tròn, đi giữa các ô chung cạnh. Tại tròn đen phải rẽ, nhưng hai ô trước-sau trên đường phải đi thẳng. Tại tròn trắng phải đi thẳng, nhưng ít nhất một ô trước-sau phải rẽ.

Bàn cờ $7\times7$ có các góc đen. Có bao nhiêu cách đặt sáu quân trên ô cùng màu, không hai quân nào chung hàng hoặc cột?

Chọn nhiều nhất bao nhiêu số nguyên dương khác nhau không vượt $2008$ để tổng hai số bất kỳ không chia hết cho hiệu của chúng?

Cắt khối lập phương $7\times7\times7$ thành các khối lập phương $4\times4\times4$, $3\times3\times3$, $2\times2\times2$ hoặc $1\times1\times1$. Tìm số khối nhỏ ít nhất.

Đặt mỗi chữ số $0$ tới $9$ đúng một lần vào mười đường tròn trong hình để tổng ba đỉnh của cả sáu tam giác tô màu hướng lên bằng nhau.

Ếch bắt đầu tại $0$ trên đường thẳng, phải tới $2008$ sau đúng $19$ bước có độ dài $1^2,2^2,\ldots,19^2$ theo thứ tự, mỗi bước chọn tiến hoặc lùi. Bước lùi cuối cùng có thể xảy ra sớm nhất ở bước thứ mấy?