Cho $f(x) = x^{3} - x^{2}$. Đối với một giá trị nhất định của $c$, đồ thị của $f(x)$, cùng với đồ thị của đường thẳng $c + x$, chia mặt phẳng thành các vùng. Giả sử rằng $c$ là sao cho chính xác hai trong số các vùng này có diện tích hữu hạn. Tìm giá trị của $c$ giảm thiểu tổng diện tích của hai vùng này.
Cho $ABC$ là hình tam giác. Điểm $M$ và $N$ nằm trên các cạnh $AC$ và $BC$ tương ứng sao cho $MN \parallel AB$. Điểm $P$ và $Q$ nằm ở hai bên $AB$ và $CB$ tương ứng sao cho $PQ \parallel AC$. Đường tròn tam giác $CMN$ chạm vào đoạn thẳng $AC$ tại $E$. Đường tròn tam giác $BPQ$ chạm vào đoạn thẳng $AB$ tại $F$. Line $EN$ và $AB$ gặp nhau tại $R$, và Lines $FQ$ và $AC$ gặp nhau tại $S$. Cho rằng $AE = AF$, chứng minh rằng tâm tam giác $AEF$ nằm trên đường tròn của tam giác $ARS$.
Có 101 người tham gia trao đổi quà tặng bí mật của ông già Noel. Như thường lệ, mỗi người được chỉ định ngẫu nhiên một người khác mà anh ta phải nhận một món quà, sao cho mỗi người tặng và nhận chính xác một món quà và không ai tặng quà cho chính họ. Xác suất để người thứ nhất không tặng quà hoặc nhận quà từ người thứ hai hoặc thứ ba là bao nhiêu? Thể hiện câu trả lời của bạn dưới dạng số thập phân được làm tròn đến năm chữ số thập phân.
Cho $a_{1}=3$ và đối với $n\gt 1$, hãy để $a_{n}$ là số thực lớn nhất sao cho $$
4\left(a_{n-1}^{2}+a_{n}^{2}\right)=10 a_{n-1} a_{n}-9
$$ số nguyên dương lớn nhất nhỏ hơn $a_{8}$?
Cho $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_0$, trong đó mỗi $a_i$ là $1$ hoặc $-1$. Cho $r$ là gốc của $p$. Nếu $|r| \gt \frac{15}{8}$, giá trị tối thiểu có thể có của $n$ là bao nhiêu?
Giả sử rằng tồn tại các số phức khác không $a$, $b$, $c$ và $d$ sao cho $k$ là gốc của cả hai Phương trình $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ và $b x^{3} + c x^{2} + d x + a = 0$. Tìm tất cả các giá trị có thể có của $k$ (bao gồm các giá trị phức tạp).
Đường tròn $\omega_{1}$ và $\omega_{2}$ cắt nhau tại các điểm $A$ và $B$. Đoạn thẳng $PQ$ là tiếp tuyến với $\omega_{1}$ tại $P$ và đến $\omega_{2}$ tại $Q$ và $A$ gần với $PQ$ hơn $B$. điểm $X$ trên $\omega_{1}$ sao cho $PX \parallel QB$ và điểm $Y$ là trên $\omega_{2}$ sao cho $QY \parallel PB$. Cho rằng $\angle APQ = 30^{\circ}$ và $\angle PQA = 15^{\circ}$, hãy tìm tỷ lệ $AX / AY$.
Gọi một số nguyên dương gần như bình phương nếu nó có thể được viết là $a \cdot b$, trong đó $a$ và $b$ là số nguyên và $a \leq b \leq \frac{4}{3} a$. Có bao nhiêu số nguyên dương gần bình phương nhỏ hơn hoặc bằng $1000000$? Điểm của bạn sẽ bằng $25-65 \frac{|A-C|}{\min (A, C)}$.
Có học sinh $n$ đứng thành đường tròn, sau cái kia. Các học sinh có độ cao $h_1 \lt h_2 \lt \dots \lt h_n$. Nếu một học sinh có chiều cao $h_k$ đang đứng ngay sau một học sinh có chiều cao $h_{k-2}$, hai học sinh được phép đổi chỗ. Chứng minh rằng không thể tạo nhiều hơn $\binom{n}{3}$ trước khi đạt đến vị trí không thể chuyển đổi thêm. (Vấn đề này được đề xuất bởi Kiran Kedlaya, Travis Schedler và David Speyer.)
Gọi một số $2n$-chữ số cơ sở-10 đặc biệt nếu chúng ta có thể chia các chữ số của nó thành hai bộ kích thước $n$ sao cho tổng của các số trong hai bộ là như nhau. Gọi $p_{n}$ là xác suất mà một số $2n$ được chọn ngẫu nhiên là đặc biệt. (Chúng tôi cho phép các số không dẫn đầu trong số $2n$-chữ số).
a. Chuỗi $p_{n}$ hội tụ thành $c$ không đổi. Tìm $c$.
b. Cho $q_{n} = p_{n} - c$. tồn tại một hằng số dương duy nhất $r$ sao cho $\frac{q_{n}}{r^{n}}$ hội tụ thành một hằng số $d$. Tìm $r$ và $d$.
Giả sử rằng một đa thức có dạng $p(x) = x^{2010} \pm x^{2009} \pm \cdots \pm x \pm 1$ không có gốc thực. Số hệ số tối đa có thể có của $-1$ trong $p$ là bao nhiêu?
Cho $f(n) = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$. Sau đó, tồn tại các hằng số $\gamma$, $c$ và $d$ sao cho $$
f(n) = \ln(n) + \gamma + \frac{c}{n} + \frac{d}{n^{2}} + O\left(\frac{1}{n^{3}}\right)
$$ nơi $O\left(\frac{1}{n^{3}}\right)$ có nghĩa là các điều khoản đặt hàng $\frac{1}{n^{3}}$ hoặc thấp hơn. Tính toán cặp $(c, d)$ đã đặt hàng.
Có bao nhiêu số có 8 chữ số bắt đầu bằng $1$, kết thúc bằng $3$ và có thuộc tính mỗi chữ số kế tiếp nhiều hơn một hoặc hai chữ số trước đó, coi $0$ là một số nữa hơn $9$?
Đặt tám rooks trên bàn cờ $8 \times 8$ để không có hai chiếc nào trong cùng một hàng hoặc cột. Với những quy tắc chuẩn của cờ vua, điều này có nghĩa là không có hai rook nào đang tấn công lẫn nhau. Bây giờ sơn 27 trong số các ô vuông còn lại (hiện không bị Rooks chiếm giữ) màu đỏ. Chứng minh rằng bất kể các rooks được sắp xếp như thế nào và bộ 27 hình vuông nào được sơn, luôn có thể di chuyển một số hoặc tất cả các rooks sao cho: - Tất cả các rook vẫn nằm trên các ô vuông không sơn. - Rooks vẫn không tấn công lẫn nhau (không có hai người ở cùng một hàng hoặc cùng một cột). - Ít nhất một hình vuông trống trước đây có một rook trên đó; Đó là, các rook không có trên 8 hình vuông như trước đây.
Một con kiến 5 chiều bắt đầu ở một đỉnh của một siêu khối 5 chiều có chiều dài bên $1$. Một động thái là khi con kiến di chuyển từ đỉnh này sang đỉnh khác ở khoảng cách $\sqrt{2}$. Con kiến có thể di chuyển $5$ bao nhiêu cách và kết thúc trên cùng một đỉnh mà nó bắt đầu ở?
Cho $a$, $b$, $c$ và $d$ là số thực dương thỏa mãn $a b c d = 1$. Chứng minh rằng $$
\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2} + a + a b + a b c}} + \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2} + b + b c + b c d}} + \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2} + c + c d + c d a}} + \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2} + d + d a + d a b}} \geq \sqrt{2}.
$$