Chúng tôi được cung cấp một số nguyên dương $n$ không phải là lũy thừa của $2$. Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên dương $m$ với hai tính chất sau: (i) $m$ là tích của hai số nguyên dương liên tiếp; (ii) Biểu diễn thập phân của $m$ bao gồm hai khối giống hệt nhau các chữ số $n$.
Đường tròn của tam giác $ABC$ chạm vào các cạnh $BC$, $CA$ và $AB$ trong các điểm $D$, $E$ và $F$, tương ứng. Để $K$ là điểm đối xứng với $D$ đối với tâm nội tiếp. Các dòng $DE$ và $FK$ cắt nhau tại $S$. Chứng minh rằng $AS$ song song với $BC$.
Cho $A, B, C, D, E$ BE sao cho $A B C D$ là tứ giác tuần hoàn và $A B D E$ là hình bình hành. Các đường chéo $A C$ và $B D$ giao nhau tại $S$ và các tia $A B$ và $D C$ cắt nhau tại $F$. Chứng minh rằng $\angle A F S=\angle E C D$.
Trong mỗi đỉnh của một $n$-GON thông thường có một pháo đài. Cùng lúc đó, mỗi pháo đài bắn vào một trong hai pháo đài gần nhất và đánh nó. Kết quả của việc bắn súng là bộ pháo đài Hit; Chúng tôi không phân biệt được một pháo đài bị đánh một hay hai lần. Cho $P(n)$ là số kết quả có thể có của việc chụp. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $k \geq 3$, $P(k)$ và $P(k+1)$ là tương đối nguyên tố.
Đối với mỗi số nguyên $n \geq 2$, hãy xác định hằng số thực lớn nhất $C_n$ sao cho tất cả các số thực dương $a_1, \ldots, a_n$, chúng tôi có $$
\frac{a_1^2+\cdots+a_n^2}{n} \geq\left(\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}\right)^2+C_n \cdot\left(a_1-a_n\right)^2
$$
Chúng tôi được đưa ra một tứ giác nội tiếp $A B C D$ với một điểm $E$ trên ZXQ đường chéo $A C$ sao cho $A D = A E$ và $C B = C E$. Gọi $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $k$ của tam giác $B D E$. Đường tròn $k$ cắt đường $A C$ trong các điểm $E$ và $F$. Chứng minh rằng các dòng $F M$, $A D$ và $B C$ gặp nhau tại một điểm.
Cho $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ và let: $$
f(f(x)+f(y))+f(f(x)-f(y)) = x^k f(x) + y^k f(y)
$$ giữ, trong đó $k$ là một số tự nhiên đã cho. $f(1)$ có thể có những giá trị nào? (Trường hợp dễ hơn: $k=2$).
Các số thực $a, b, c, d$ thỏa mãn đồng thời các phương trình $$
abc - d = 1, \quad bcd - a = 2, \quad cda - b = 3, \quad dab - c = -6.
$$ chứng minh rằng $a + b + c + d \neq 0$.
Cho $p_1, p_2, \dots, p_{2009} \in \mathbb{R}^+$. Chứng minh bất đẳng thức $$
\sum_{i=1}^{2009} \frac{p_i}{p_{i+1} + p_{i+2} + \dots + p_{i+1004}} \ge \frac{2009}{1004},
$$ nơi các chỉ mục được lấy mod $2009$.
Một số tự nhiên được gọi là "hạnh phúc" nếu tổng các chữ số của nó là $7$. Gọi $(a_n)_{n=1}^\infty$ là dãy số hạnh phúc tăng dần. Nếu $a_n = 2005$, hãy tính $a_{5n}$.
Gọi $ABC$ là một tam giác nhọn với trực tâm $H$, và để $M$ là trung điểm của $AC$. Điểm $C_1$ trên $AB$ là $CC_1$ là một đường cao của tam giác $ABC$. Cho $H_1$ là sự phản chiếu của $H$ trong $AB$. Các phép chiếu trực giao của $C_1$ lên các dòng $AH_1$, $AC$ và $BC$ là $P$, $Q$ và $R$, tương ứng. Gọi $M_1$ là điểm sao cho đường tròn tâm của tam giác $PQR$ là trung điểm của đoạn $MM_1$. Chứng minh rằng $M_1$ nằm trên đoạn thẳng $BH_1$.
Tìm tất cả các chức năng $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$, cho: $$
f(xf(x,z), yf(y,z)) = f(x,z)f(y,z)
$$ cho mọi số thực $x$, $y$ và $z$ và $f(0,0) \neq 0$.
Đối với mỗi số nguyên $n$ ($n \ge 2$) Cho $f(n)$ biểu thị tổng của tất cả các số nguyên dương nhiều nhất là $n$ và không nguyên tố cùng nhau $n$. Chứng minh rằng $f(n+p) \neq f(n)$ cho mỗi $n$ như vậy và cho mọi $p$ của Prime.
Gọi $O$ là tâm của đường tròn tam giác $ABC$. Các điểm $K$ và $L$ lần lượt là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BOC$ và $AOC$ với các đường phân giác của các góc tại $A$ và $B$, $P$ là điểm giữa của $\overline{KL}$, $M$ đối xứng với $O$ đối với $P$ và $N$ đối xứng với $O$ đối với dòng $KL$. Chứng minh rằng tứ giác $KLMN$ được nội tiếp.
Số $2009^{2009^{2009}}$ được đưa ra, được viết trong cơ sở 10. Trong một bước, chúng tôi thực hiện thao tác sau: Chúng tôi xóa chữ số đầu tiên và cuối cùng, và chúng tôi thêm tổng của chúng vào số còn lại sau khi xóa chữ số đầu tiên và chữ số cuối cùng.
a) Nếu sau một số bước hữu hạn vẫn còn một số có hai chữ số, thì số đó có thể là một số chính phương không?
b) Nếu sau một số bước hữu hạn, vẫn còn một số có một chữ số. xác định số đó.
Một hình thang $ABCD$ được đưa ra, chẳng hạn như $\overline{AB} = \overline{AC} = \overline{BD}$. Gọi $M$ là trung điểm của $CD$. Tìm các góc của hình thang nếu $\angle MBC = \angle CAB$.
