Trong tam giác $ABC$ với $AC \gt AB$, $D$ là chân của đường vuông góc từ $A$ lên $BC$ và $E$ là chân của đường vuông từ $D$ lên $AC$. Cho $F$ là điểm trên dòng $DE$ sao cho $EF \cdot DC = BD \cdot DE$. Chứng minh rằng $AF$ vuông góc với $BF$.
Trong tam giác cân $ABC$, $AB = AC$. Cho $E$ là một điểm trên $AC$ và mở rộng $AB$ đến một điểm $D$ sao cho $BD = EC$. Cho $F$ là giao điểm của $BC$ và $DE$ và để đường tròn ngoại tiếp $ABC$ cắt đường tròn ngoại tiếp của $BDF$ tại $G$. Chứng minh rằng $DE$ vuông góc với $FG$.
Giả sử rằng $a_1, \dots, a_{15}$ là số nguyên tố tạo thành một cấp số cộng với sự khác biệt chung $d \gt 0$. Nếu $a_1 \gt 15$, hãy chứng minh rằng $d \gt 30,000$.
Cho $N = 2010! + 1$. Chứng minh rằng
a) $N$ không chia hết cho $4021$;
b) $N$ không chia hết cho $2027$, $2029$, $2039$;
c) $N$ có số nguyên tố lớn hơn $2050$.
Ở các quốc gia của Con đường Tơ lụa, có một số thành phố hữu hạn và một số thành phố được kết nối bằng đường dẫn (một cặp thành phố có thể có một số con đường, hơn nữa chúng có thể có hướng ngược lại). Được biết, cứ hai con đường này bằng những con đường này tạo thành $A$ thành phố đến thành phố $B$ sử dụng ít nhất một con đường giống nhau. Chứng minh rằng một số con đường là một phần phổ biến cho tất cả các con đường từ $A$ đến $B$ ($A$ và $B$ là hai thành phố nhất định).
Trong hình tứ giác lồi $ABCD$ $$
\angle ADB + \angle ACB = \angle CAB + \angle DBA = 30^\circ \text{ và } AD = BC.
$$ chứng minh rằng các đoạn $DB$, $CA$ và $DC$ tạo thành các cạnh của tam giác vuông.
Ở một góc nhọn $\triangle ABC$ điểm $M$ là trung tâm của trang $BC$, và điểm $D, E$ và $F$ là đáy của các đường cao tính từ đỉnh $A, B$ và $C$, tương ứng. Cho nó như vậy $H$ trực tâm $\triangle ABC$, $S$ trung tâm lâu hơn $AH$, còn $G$ phần dài hơn $FE$ và $AH$. Nếu nó là $N$ giao điểm của trọng tâm của chiều dài $AM$ và mô tả các đường tròn $\triangle BCH$, chứng minh rằng đó là $\measuredangle HMA = \measuredangle GNS$.
Cho $a_{0}$ và $a_{n}$ là các ước số khác nhau của số tự nhiên $m\gt 1$ và thỏa mãn dãy số tự nhiên $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$
$$
a_{i+1}=\left|a_{i} \pm a_{i-1}\right| \quad \text{ vì } 0\lt i\lt n
$$
Nếu NZD là $\left(a_{0}, \ldots, a_{n}\right)=1$, hãy chứng minh rằng có một số hạng trong dãy nhỏ hơn $\sqrt{m}$.
Một bảng $n \times n$ chứa các số $1,2, \ldots, n^{2}$, mỗi số đúng một lần. Gọi đó là bảng Niš nếu tích của $n$ số trong bất kỳ $n$ ô nào, không có hai ô cùng hàng hoặc cùng cột, đều có cùng số dư modulo $n^{2}+1$. Có tồn tại bảng như vậy với:
a. $n=8$;
b. $n=10$?
(Một cách chọn $n$ ô như thế được gọi là phân tán.)
Cho $A$ là tập con vô hạn của tập hợp số tự nhiên. Xác định mọi số tự nhiên $n$ sao cho với mỗi $a \in A$
$$
a^{n}+a^{n-1}+\ldots+a^{1}+1 \mid a^{n!}+a^{(n-1)!}+\ldots+a^{1!}+1
$$
Gọi $O$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABC$. Đường thẳng qua $O$ cắt các cạnh $CA$ và $CB$ lần lượt tại các điểm $D$ và $E$ và đường tròn nội tiếp $\triangle ABO$ tại điểm $P$ bên trong tam giác (khác với $O$). Điểm $Q$ trên trang $AB$ sao cho $\frac{AQ}{QB} = \frac{DP}{PE}$. Chứng minh rằng $\angle APQ = 2 \cdot \angle CAP$. (Dusan Djukic)
Một số thành phố $n$ được kết nối bằng các tuyến hàng không (tất cả các tuyến đều là hai chiều). Có chính xác dòng $m$. Gọi $d_{i}$ là số tuyến khởi hành từ thành phố $i$, cho $i=1,2, \ldots, n$. Nếu $1 \leqslant d_{i} \leqslant 2010$, với mỗi $i=1,2, \ldots, n$, hãy chứng minh rằng nó đúng
$$
\sum_{i=1}^{n} d_{i}^{2} \leqslant 4022 m-2010 n
$$
Xác định tất cả $n$ có thể đạt được sự bình đẳng.
Một giáo viên đưa cho Matej bốn mảnh giấy, mỗi mảnh chứa một chữ số khác không. Matej sắp xếp chúng thành một dòng, do đó tạo thành một số có bốn chữ số. Sau đó, anh ta trao đổi hai trong số các mảnh (mà không lật hoặc xoay chúng trong quá trình) để tạo thành một số có bốn chữ số khác. Liệu anh ta có thể luôn làm điều này theo cách mà hai số mà anh ta thu được không phải là số nguyên tố tương đối bất kể các chữ số được viết trên các mảnh giấy không?
Cho $\triangle ABC$ là tam giác nhọn với $|AB| \gt |AC|$. Gọi $D$ là một điểm bên cạnh $AB$, sao cho các góc $\angle ACD$ và $\angle CBD$ là bằng nhau. Gọi $E$ biểu thị trung điểm của $BD$ và gọi $S$ là tâm tròn của tam giác $BCD$. Chứng minh rằng các điểm $A, E, S$ và $C$ nằm trên cùng một đường tròn.
Gọi $H$ là trực tâm của tam giác nhọn $ABC$ và để $D$ là một điểm bên trong tam giác $ABH$. Một đường thẳng đi qua điểm $D$ và song song với đường thẳng $AH$ cắt các đoạn $BC$ và $AB$ tại $K$ và $L$. Một đường thẳng đi qua điểm $D$ và song song với đường thẳng $BH$ cắt các đoạn $AC$ và $AB$ tại $M$ và $N$. Chứng minh rằng $C, D$ và $H$ nằm trên cùng một đường thẳng nếu $K, L, M$ và $N$ nằm trên cùng một đường tròn.