Cho $\gamma_1$ và $\gamma_2$ là hai đường tròn tiếp tuyến tại điểm $T$ và để $\ell_1$ và $\ell_2$ là hai đường xuyên qua $T$. Các dòng $\ell_1$ và $\ell_2$ gặp lại $\gamma_1$ tại các điểm $A$ và $B$, và $\gamma_2$ lần lượt tại các điểm $A_1$ và $B_1$. Cho thêm $X$ là một điểm trong phần bổ sung của $\gamma_1 \cup \gamma_2 \cup \ell_1 \cup \ell_2$. Các đường tròn $ATX$ và $BTX$ lần lượt gặp lại $\gamma_2$ tại các điểm $A_2$ và $B_2$, tương ứng. Chứng minh rằng các dòng $TX, A_1B_2$ và $A_2B_1$ là đồng thời.
Cho $VABCD$ là một hình chóp thông thường, có đáy $ABCD$ hình vuông. Giả sử rằng trên dòng $AC$ nằm một điểm $M$ sao cho $VM = MB$ và $(VMB) \perp (VAB)$. Chứng minh rằng $4AM = 3AC$.
Tìm tất cả các chức năng $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ sao cho $$
3f(f(f(n))) + 2f(f(n)) + f(n) = 6n, \text{ cho tất cả } n \in \mathbb{N}.
$$ Vasile POP
Cho $ABC$ là một tam giác sao cho $AB \neq AC$. Các đường phân giác bên trong của các góc $ABC$ và $ACB$ lần lượt gặp các cạnh đối diện của tam giác tại các điểm $B_0$ và $C_0$, và đường tròn ngoại tiếp $ABC$ lần lượt tại các điểm $B_1$ và $C_1$. Hơn nữa, hãy gọi $I$ là tâm của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng các đường $B_0C_0$ và $B_1C_1$ gặp nhau tại một số điểm nằm trên song song qua $I$ đến đường thẳng $BC$. Radu Gologan
Cho $a$ và $n$ là hai số nguyên dương sao cho các thừa số nguyên tố (dương) của $a$ đều lớn hơn $n$. Chứng minh rằng $n!$ chia $(a-1)(a^2-1)\cdots(a^{n-1}-1)$.
Gọi $a \lt c \lt b$ là số thực và để $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ là một hàm liên tục tại $c$. Chứng minh rằng nếu $f$ là đạo hàm của hàm $F_a$ trên $[a, c)$, và cũng là đạo hàm của hàm $F_b$ trên $(c, b]$, thì $f$ là đạo hàm của một số hàm $F$ trên toàn bộ khoảng $[a, b]$.
Cho $ABC$ là tam giác scale. Các tiếp tuyến với đường tròn chín điểm ở chân vuông góc rơi xuống từ $A$ trên đường thẳng $BC$ và tại điểm giữa của bên cạnh $BC$ gặp nhau tại điểm $A'$; Các điểm $B'$ và $C'$ được xác định tương tự. Chứng minh rằng các dòng $AA'$, $BB'$ và $CC'$ là đồng thời. Gazeta Matematică
Cho $f : [0, 1] \to \mathbb{R}$ là một hàm tích hợp. Nếu $f(1) = 0$ và $f$ có thể phân biệt được trong $1$, hãy chứng minh rằng $$
\lim_{n \to \infty} n^2 \int_0^1 x^n f(x) dx = -f'(1).
$$
Cho $n$ là một số nguyên, $n \ge 2$. Đối với mỗi $k = 1, 2, \dots, n$, hãy đặt $a_k$ là số bội số của $k$ trong bộ $\{1, 2, \dots, n\}$ và để $x_k = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{a_k}$. Chứng minh rằng $\frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \le \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{n^2}$.
Cho $G$ là một nhóm hữu hạn của thứ tự $n$. Xác định bộ $$
H = \{x : x \in G \text{ và } x^2 = e\},
$$ trong đó $e$ là phần tử trung tính của $G$. Gọi $p = |H|$ là hồng y của $H$. Chứng minh rằng
a) $|H \cap xH| \geq 2p - n$, cho bất kỳ $x \in G$, trong đó $xH = \{xh : h \in H\}$.
b) Nếu $p \gt \frac{3n}{4}$, thì $G$ là giao hoán.
c) Nếu $\frac{n}{2} \lt p \leq \frac{3n}{4}$ thì $G$ là không giao hoán.
Gọi $ABC$ là một tam giác và gọi $D, E, F$ là trung điểm của các cạnh $BC, CA, AB$. Chứng minh rằng $\angle DAC = \angle ABE$ nếu và chỉ khi $\angle AFC = \angle BDA$.
Cho $n$ là một số nguyên dương và cho $x_1, x_2, \dots, x_n$ là số thực dương sao cho $x_1x_2 \cdots x_n = 1$. Chứng minh rằng $$
\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{n}(1 + x_{i}) \geq \frac{n}{2^{n-1}} \prod_{i=1}^{n}(1 + x_{i}).
$$
Cho $n$ là một số nguyên lớn hơn hoặc bằng $2$ và để $K$ là một tập hợp kín có diện tích lớn hơn hoặc bằng $n$, chứa trong hình vuông mở $(0, n) \times (0, n)$. Chứng minh rằng $K$ chứa một số điểm của mạng tinh thể nguyên $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$.
Hãy xem xét khối lập phương $ABCDA'B'C'D'$. Các phân giác góc của các góc $\angle A'C'A$ và $\angle A'AC'$ gặp $AA'$ và $A'C'$ tại các điểm $P$ và $Q$, tương ứng. Điểm $M$ là chân của đường vuông góc từ $A'$ lên $C'P$ trong khi $N$ là chân của đường vuông $A'$ lên $AS$. Điểm $O$ chính là tâm của mặt $ABB'A'$.
a) Chứng minh rằng các mặt phẳng $(MNO)$ và $(AC'B)$ là song song.
b) Cho rằng $AB = 1$, hãy tìm khoảng cách giữa các mặt phẳng $(MNO)$ và $(AC'B)$.
Tìm tất cả các chức năng liên tục $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ với thuộc tính mà cho mỗi $a \in \mathbb{R}$ tồn tại $b \in \mathbb{R}$ sao cho mọi $x \in \mathbb{R}$, $$
f(f(x) + a) = f(x) + b.
$$
Cho $f : [0, 1] \to \mathbb{R}$ là một chức năng khác biệt với $f(0) = f(1)$, $\int_{0}^{1} f(x) dx = 0$ và $f'(x) \neq 1$, cho mọi $x \in [0, 1]$.
a) Chứng minh rằng hàm $g : [0, 1] \to \mathbb{R}$ được đưa ra bởi $g(x) = f(x) - x$ đang giảm dần.
b) Chứng minh rằng đối với bất kỳ số nguyên $n \ge 1$ nào sau đây giữ $$
\left| \sum_{k=0}^{n-1} f \left( \frac{k}{n} \right) \right| \lt \frac{1}{2}.
$$
Với số nguyên dương $n$, hãy xác định mức tối thiểu của $$
\max \left\{ \frac{x_1}{1+x_1}, \frac{x_2}{1+x_1+x_2}, \dots, \frac{x_n}{1+x_1+x_2+\dots+x_n} \right\},
$$ khi $x_1, x_2, \dots, x_n$ chạy qua tất cả các số thực không âm, cộng với 1.