ITOT 43 mùa Thu 2021 - THPT bảng A - luyện tập cộng điểm

Mười hai thẻ ghi số 1 đến 12 được chia cho bốn pháp sư $A,B,C,D$, mỗi người ba thẻ, chỉ thấy thẻ mình. Họ nói theo thứ tự: A: “Tôi giữ thẻ 8.” B: “Cả ba số của tôi đều nguyên tố.” C: “Tôi có ba hợp số có một ước nguyên tố chung.” D: “Bây giờ tôi biết thẻ của mọi người.” Tất cả đều nói thật. Hỏi A có những thẻ nào? (5 điểm)



Minh họa trung tính do người biên soạn tạo.

Chấm luyện tập cộng điểm tất cả các câu (tối đa 57). ITOT gốc chỉ cộng ba điểm toàn câu cao nhất (tối đa 31), sau khi cộng các ý trong mỗi câu. Bộ nhập không tự thực hiện cách chấm ba câu tốt nhất. Thời gian: 300 phút theo quy định chung lịch sử của ban tổ chức, không phải thời lượng được in riêng trên đề này.

Một quân xe bắt đầu ở một ô của bảng $10\times10$. Mỗi lượt đi sang ô chung cạnh, và hành trình thăm mỗi ô đúng một lần. Chứng minh với mỗi đường chéo chính, có hai lượt liên tiếp mà quân xe rời đường chéo rồi lập tức trở lại đường chéo đó. (7 điểm)



Minh họa trung tính do người biên soạn tạo.

Châu chấu Kolya đứng trên mặt phẳng cùng 2020 châu chấu khác. Kolya nhảy qua từng con đúng một lần theo thứ tự tùy ý. Mỗi bước, vị trí con bị nhảy qua là trung điểm vị trí đầu và cuối của Kolya. Một điểm là điểm có thể kết thúc nếu một thứ tự đưa Kolya tới đó sau 2020 bước. Số điểm kết thúc lớn nhất $N$ trên mọi cách đặt ban đầu là bao nhiêu? (7 điểm)



Minh họa trung tính do người biên soạn tạo.

Tìm số thực $k$ nhỏ nhất sao cho trong mọi bộ ba số thực khác 0 luôn có hai số $a,b$ thỏa
$|a-b|\le k$ hoặc $\left|\frac1a-\frac1b\right|\le k$.
(7 điểm)



Minh họa trung tính do người biên soạn tạo.

Điểm $P$ nằm trong hình bình hành $ABCD$ và thỏa $\angle PDA=\angle PBA$. Gọi $\omega_1$ là đường tròn bàng tiếp đối diện $A$ của tam giác $PAB$, $\omega_2$ là đường tròn nội tiếp tam giác $PCD$. Chứng minh hai đường tròn có tiếp tuyến chung song song $AD$. (9 điểm)



Minh họa trung tính do người biên soạn tạo.

Hai mươi bánh mặn và hai mươi bánh ngọt xếp thành hàng theo thứ tự tùy ý. Alice và Bob luân phiên lấy một bánh ở một trong hai đầu, Alice đi trước. Alice muốn lấy đúng mười bánh mỗi loại, Bob muốn ngăn cản. Alice có luôn đạt mục tiêu không? (10 điểm)



Minh họa trung tính do người biên soạn tạo.

Một bảng vuông $2\times2$ được phủ kín bởi hai tờ giấy hình tam giác. Có nhất thiết rằng (a) ít nhất một trong bốn ô vuông đơn vị của bảng nằm trọn trong một tờ? (6 điểm) (b) có một hình vuông cạnh 1, được phép xoay tùy ý, nằm trọn trong một tờ? (6 điểm)



Minh họa trung tính do người biên soạn tạo.