ITOT 43 mùa Thu 2021 - THPT bảng O - luyện tập cộng điểm

Gọi số nguyên dương $k$ là “thú vị” nếu tích $k$ số nguyên tố nhỏ nhất chia hết cho $k$. Ví dụ 2 thú vị vì $2\cdot3=6$ chia hết cho 2. Có nhiều nhất bao nhiêu số nguyên dương liên tiếp đều thú vị? (3 điểm)



Minh họa trung tính do người biên soạn tạo.

Chấm luyện tập cộng điểm tất cả các câu (tối đa 25). ITOT gốc chỉ cộng ba điểm toàn câu cao nhất (tối đa 18), sau khi cộng các ý trong mỗi câu. Bộ nhập không tự thực hiện cách chấm ba câu tốt nhất. Thời gian: 300 phút theo quy định chung lịch sử của ban tổ chức, không phải thời lượng được in riêng trên đề này.

Một khối lập phương được chia thành 8 khối hộp chữ nhật nhỏ bởi ba mặt phẳng, mỗi mặt phẳng song song với một mặt của khối lập phương. Mỗi phần được sơn tất cả các mặt màu trắng hoặc xám sao cho hai phần chung mặt không cùng màu, như hình. Các phần màu xám có thể tích $1,6,8,12$. Xác định thể tích các phần màu trắng. (4 điểm)

Bảng $2021\times2021$ ban đầu toàn trắng. Ivan chọn hai ô tô đen. Mỗi lượt sau đó, mọi ô chung cạnh với ít nhất một ô đen đồng thời được tô đen. Nếu chọn hai ô đầu thích hợp, ít nhất bao nhiêu lượt để cả bảng đen? (6 điểm)



Minh họa trung tính do người biên soạn tạo.

Cố định đoạn $AB$ trong không gian. Các điểm $X,Y,Z$ thỏa mãn $ABX$ là tam giác đều và $ABYZ$ là hình vuông. Chứng minh trực tâm tam giác $XYZ$ thuộc một đường tròn cố định. (6 điểm)



Minh họa trung tính do người biên soạn tạo.

Xét đoạn $[0,1]$. Mỗi lượt chọn một đoạn hiện có, cắt thành hai đoạn nhỏ hơn, rồi viết tích độ dài hai đoạn mới. Chứng minh tổng các số đã viết không thể vượt quá $1/2$. (6 điểm)



Minh họa trung tính do người biên soạn tạo.