ITOT 42 mùa Xuân 2021 - THPT bảng O - luyện tập cộng điểm

(a) Một ngũ giác lồi được chia thành ba tam giác bằng các đường chéo không cắt nhau ở phần trong. Trọng tâm ba tam giác có thể thẳng hàng không? (2 điểm) (b) Câu hỏi tương tự cho ngũ giác không lồi. (2 điểm)



Minh họa trung tính do người biên soạn tạo.

Chấm luyện tập cộng điểm tất cả các câu (tối đa 24). ITOT gốc chỉ cộng ba điểm toàn câu cao nhất (tối đa 16), sau khi cộng các ý trong mỗi câu. Bộ nhập không tự thực hiện cách chấm ba câu tốt nhất. Thời gian: 300 phút theo quy định chung lịch sử của ban tổ chức, không phải thời lượng được in riêng trên đề này.

Maria có bốn quả cân giống nhau bề ngoài, có khối lượng 1000,1002,1004,1005 gam. Mỗi lượt cân sau có thể tùy theo kết quả trước. (a) Với cân hai đĩa thông thường, có thể chắc chắn xác định khối lượng từng quả sau bốn lượt cân không? (2 điểm) (b) Câu hỏi tương tự khi cân cũng hiện cân bằng lúc tổng khối lượng bên trái nhẹ hơn bên phải đúng 1 gam, theo bản nguồn tiếng Việt được cung cấp. (2 điểm)

Khác biệt nguồn: bản tiếng Anh chính thức dùng hiệu chuẩn ngược lại: bản thân đĩa trái nhẹ hơn 1 gam, nên tải đặt lên TRÁI phải NẶNG HƠN tải phải 1 gam mới cân bằng. Hai cách đọc được phân tích riêng bên dưới; đáp án không đổi.



Minh họa trung tính do người biên soạn tạo.

Với những số nguyên dương $n$ nào, tích của $n$ số nguyên dương liên tiếp có thể bằng tổng của $n$ số nguyên dương liên tiếp? Hai dãy liên tiếp không nhất thiết giống nhau. (5 điểm)



Minh họa trung tính do người biên soạn tạo.

Phương trình bậc hai thông thường có nhiều nhất hai nghiệm thực. Phương trình $\lfloor x^2\rfloor+px+q=0$, với $p\ne0$, có thể có hơn 100 nghiệm thực không? Ở đây $\lfloor x^2\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x^2$. (5 điểm)



Minh họa trung tính do người biên soạn tạo.

Gọi $O$ là tâm ngoại tiếp tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm $AC$. Đường thẳng $BO$ lần lượt cắt các đường cao $AA_1,CC_1$ tại $H_a,H_c$. Đường tròn ngoại tiếp $BH_aA$ và $BH_cC$ cắt nhau lần nữa tại $K$. Chứng minh $K$ thuộc $BM$. (6 điểm)

Làm rõ nguồn: bản gốc chính thức ghi tam giác nhọn; văn bản tiếng Việt cung cấp bỏ tính từ này. Hiểu rằng các đường thẳng, đường tròn không suy biến và giao điểm thứ hai phân biệt đã nêu đều tồn tại. Lời giải xét cấu hình nhọn chính thức và đưa mở rộng đại số mỗi khi các đối tượng xác định.



Minh họa trung tính do người biên soạn tạo.