ITOT 42 mùa Xuân 2021 - THPT bảng A - luyện tập cộng điểm

Trong phòng có một số trẻ em và túi 1000 viên kẹo. Theo một thứ tự nào đó, mỗi em chia số kẹo hiện có cho số trẻ hiện còn trong phòng, làm tròn nếu cần, lấy đúng số kẹo đó rồi rời phòng. Các bạn nam luôn làm tròn lên, các bạn nữ luôn làm tròn xuống. Chứng minh tổng số kẹo các bạn nam nhận không phụ thuộc thứ tự. (4 điểm)



Minh họa trung tính do người biên soạn tạo.

Chấm luyện tập cộng điểm tất cả các câu (tối đa 53). ITOT gốc chỉ cộng ba điểm toàn câu cao nhất (tối đa 31), sau khi cộng các ý trong mỗi câu. Bộ nhập không tự thực hiện cách chấm ba câu tốt nhất. Thời gian: 300 phút theo quy định chung lịch sử của ban tổ chức, không phải thời lượng được in riêng trên đề này.

Có tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho với mọi cặp số thực $x,y$, có các số thực khác 0 $a_1,\ldots,a_n$ thỏa mãn
$$x=a_1+\cdots+a_n,\qquad y=\frac1{a_1}+\cdots+\frac1{a_n}?$$
(5 điểm)



Minh họa trung tính do người biên soạn tạo.

Cho $M$ là trung điểm cạnh $BC$ của tam giác $ABC$. Đường tròn $\omega$ qua $A$, tiếp xúc $BC$ tại $M$, cắt lại $AB,AC$ lần lượt tại $D,E$. Gọi $X,Y$ lần lượt là trung điểm $BE,CD$. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp $MXY$ tiếp xúc $\omega$. (5 điểm)



Minh họa trung tính do người biên soạn tạo.

Có một hàng $100N$ bánh mì kẹp thịt. Trong một thao tác, chàng trai ăn chiếc đầu ở một trong hai đầu hàng; trong một thao tác, mèo ăn thịt của một chiếc bánh còn lại hoặc không làm gì. Mỗi lượt chàng trai làm 100 thao tác, mèo làm một thao tác; hai bên luân phiên, chàng trai đi trước. Chàng trai thắng nếu chiếc bánh cuối mình ăn còn thịt. Có thể bảo đảm thắng với mọi số nguyên dương $N$, bất kể mèo chơi thế nào không? (8 điểm)



Minh họa trung tính do người biên soạn tạo.

Có đoàn 100 du khách tới khách sạn có các phòng đơn đánh số $1,2,\ldots,n$. Ngoài $k$ phòng đang sửa chữa mà họ không biết số, các phòng còn lại đều trống. Mỗi khách lần lượt kiểm tra phòng theo một thứ tự có thể khác nhau giữa các khách, rồi vào phòng đầu tiên không sửa chữa. Họ không biết phòng có người trước khi tự kiểm tra, nhưng kiểm tra phòng người khác đang nghỉ là điều cấm kị. Họ phải thống nhất chiến lược trước. Với mỗi $k$, tìm $n$ nhỏ nhất bảo đảm chọn phòng phù hợp. (8 điểm)



Minh họa trung tính do người biên soạn tạo.

Tìm ít nhất một số thực $A$ sao cho với mọi số nguyên dương $n$, khoảng cách từ $\lceil A^n\rceil$ tới số chính phương của một số nguyên gần nhất đúng bằng 2. Ở đây $\lceil x\rceil$ là số nguyên nhỏ nhất không nhỏ hơn $x$. (10 điểm)



Minh họa trung tính do người biên soạn tạo.

Cho số nguyên $n>2$. Peter muốn vẽ $n$ cung tròn đôi một không giao nhau, mỗi cung dài $\alpha$, trên các đường tròn lớn của mặt cầu đơn vị. Chứng minh: (a) thực hiện được với mọi $\alpha\lt \pi+2\pi/n$; (6 điểm) (b) không thực hiện được với mọi $\alpha>\pi+2\pi/n$. (7 điểm) Độ dài cung dương; đầu mút cũng thuộc cung.



Minh họa trung tính do người biên soạn tạo.