ITOT 41 Spring 2020 - THCS A - Luyện tập cộng điểm

Có tồn tại số nguyên dương chia hết cho 2020 mà mười chữ số 0,1,…,9 xuất hiện cùng số lần không? Câu in trong sách chỉ yêu cầu có các chữ số; điều kiện cùng số lần có trong đề chính thức và được nêu rõ ở đây.

Ba hiệp sĩ đánh rồng. Người thứ nhất chặt nửa số đầu hiện tại cộng 1; người thứ hai chặt một phần ba cộng 2; người thứ ba chặt một phần tư cộng 3. Mỗi lần phải chặt số nguyên đầu hiện có. Được chọn thứ tự tùy ý và lặp lại; nếu không ai đánh hợp lệ thì rồng thắng. Họ có thể chặt hết khi ban đầu có $41!$ đầu không?

Có thể nội tiếp đa giác $N$ cạnh trong đường tròn sao cho mọi cạnh có độ dài khác nhau và mọi góc trong là số nguyên độ, với (a) $N=19$; (b) $N=20$ không?

Với những số nguyên dương $N$ nào có thể điền số thực vào bảng $N\times N$ sao cho tổng của mọi cặp ô chung cạnh là đúng các số nguyên từ 1 đến $2N(N-1)$, mỗi số một lần? Xét rõ trường hợp bảng một ô.

Hình thang nội tiếp $ABCD$ có $AB\parallel CD$, $AB=3 CD$. Hai tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tại $A,C$ gặp nhau ở $K$. Chứng minh $\angle KDA=90^\circ$.

Alice chia bộ 36 lá, gồm 4 chất và 9 giá trị, thành 18 lá cho mình và 18 lá cho Bob. Mỗi lượt Alice đánh một lá còn lại, rồi Bob đánh một lá. Bob được 1 điểm nếu hai lá cùng chất hoặc cùng giá trị. Bob bảo đảm được bao nhiêu điểm với mọi cách chia ban đầu và mọi cách chơi của Alice? Đề chính thức ghi bài ngửa; sách ghi bài úp. Bài toán dự định dùng quy tắc ngửa của đề chính thức.

Gleb chọn số nguyên dương $a\lt N$, viết $a$. Liên tiếp chia $N$ cố định cho số dương viết cuối cùng và ghi số dư; dừng khi xuất hiện 0. Tổng mọi số đã viết có thể vượt $100N$ không? Đây là quy tắc đề chính thức. Sách đảo phép chia thành chia số cuối cho $N$; phiên bản sát chữ ấy được xét riêng dưới đây.