ITOT 42 Autumn 2020 - THPT O - Luyện tập cộng điểm

Mỗi đa thức bậc hai hệ số thực $P(x)$, $Q(x)$ và $P(x)+Q(x)$ đều có nghiệm kép. Có nhất thiết ba nghiệm ấy trùng nhau không?

Mười điểm $X_1,\ldots,X_{10}$ nằm theo thứ tự trên một đường thẳng. Trên mỗi đoạn liên tiếp $X_iX_{i+1}$ dựng tam giác cân, cùng góc ở đỉnh $\alpha$. Chín đỉnh ấy cùng nằm trên một nửa đường tròn đường kính $X_1X_{10}$. Tìm $\alpha$.

Số nguyên dương $N$ chia hết cho 2020, các chữ số thập phân đôi một khác nhau. Đổi chỗ hai chữ số bất kỳ luôn cho số không chia hết cho 2020. $N$ có thể có bao nhiêu chữ số?

Các đường phân giác của tam giác chia ba cạnh thành sáu đoạn. Có luôn ghép toàn bộ sáu đoạn thành các cạnh của hai tam giác không suy biến được không?

Có 101 đồng xu trên đường tròn, mỗi đồng nặng 10g hoặc 11g. Chứng minh tồn tại đồng xu có tổng khối lượng $k$ đồng gần nhất bên trái bằng tổng khối lượng $k$ đồng gần nhất bên phải, với (a) $k=50$; (b) $k=49$. Đồng được chọn có thể khác nhau giữa hai phần.