ITOT 42 Autumn 2020 - THPT A - Luyện tập cộng điểm

Có n số nguyên dương. Với mỗi cặp, Boris ghi trung bình cộng lên bảng đen và trung bình nhân lên bảng trắng. Mỗi cặp có ít nhất một trong hai trung bình là số nguyên. Chứng minh ít nhất một bảng chỉ chứa số nguyên.

Nam tước Munchausen khẳng định: nếu đa thức đơn nhất $x^n-ax^{n-1}+bx^{n-2}+\cdots$ có n nghiệm nguyên dương, thì tồn tại a đường thẳng trên mặt phẳng có đúng b giao điểm phân biệt. Khẳng định đúng không? Các hệ số được viết ngầm đòi hỏi $n\ge2$.

Hai đường tròn $\alpha,\beta$ tâm A,B cắt tại C,D. Đoạn AB gặp $\alpha$ tại K, $\beta$ tại L. Tia DK gặp lại $\beta$ tại N, tia DL gặp lại $\alpha$ tại M. Chứng minh giao hai đường chéo tứ giác KLMN là tâm nội tiếp tam giác ABC.

Hai bàn tròn, mỗi bàn có $n$ chú lùn. Ban đầu mỗi chú chỉ là bạn với hai người ngồi kề ở bàn mình. Pháp sư được thêm 2 n cặp bạn, nhưng phù thủy xóa n cặp bạn mới đó. Với $n$ nào pháp sư bảo đảm xếp cả 2 n chú quanh một bàn sao cho mọi cặp kề đều là bạn?

Có tồn tại hình chữ nhật cắt được thành một trăm hình chữ nhật nhỏ hơn, tất cả đồng dạng hình ban đầu và đôi một không bằng nhau không?

Alice và Bob luân phiên, Alice đi trước. Mỗi số được ghi là phân số đơn vị $1/n$ với n nguyên dương. Alice ghi một phân số mỗi lượt; Bob ghi k phân số ở lượt thứ k của mình. Bob muốn tổng mọi phân số đã ghi là số nguyên sau một lượt nào đó. Alice có ngăn được mãi không?

Bảng có 1000 cột và n hàng, n lẻ lớn hơn 2020. Bọ trắng ở một góc; hai quân tượng đen ở hai góc gần nhất. Bọ đi một ô ngang hoặc dọc, hoặc đi như quân mã. Nó phải đến góc đối diện, thăm đúng một lần mọi ô không bị tượng chiếm hay tấn công, và không vào ô cấm. Chứng minh số đường đi như vậy không phụ thuộc n.