ITOT 42 Autumn 2020 - THCS O - Luyện tập cộng điểm

Có thể chọn 100 điểm phân biệt trên một đường tròn để có đúng 1000 tam giác vuông với ba đỉnh thuộc các điểm đã chọn không?

Tám tay vợt dự mỗi năm một giải loại trực tiếp: bốn trận vòng đầu, hai bán kết và một chung kết, ghép cặp ngẫu nhiên ở các vòng thích hợp. Sau vài năm, mỗi cặp tay vợt đã gặp nhau đúng một lần. Chứng minh (a) mỗi người vào bán kết nhiều hơn một lần; (b) mỗi người vào ít nhất một chung kết. Điểm gốc: 2+3.

Có $n$ viên đá. Hai người luân phiên lấy một viên hoặc $p$ viên, với $p$ là ước nguyên tố của số viên hiện có. Ai lấy viên cuối thắng. Với những số nguyên dương $n$ nào người đi trước chắc thắng?

Một tam giác đều có cạnh $d$, điểm $P$ có các khoảng cách dương $a,b,c$ đến ba đỉnh. Chứng minh tồn tại tam giác đều cạnh $a$ và điểm $Q$ có khoảng cách đến ba đỉnh là $b,c,d$.

Tám con voi đánh số 1–8. Cân nặng ban đầu thỏa $w_i=w_{i-1}+w_{i-2}$ với $i=3,\ldots,8$, ngoài ra không biết giá trị. Nhiều nhất một con giảm cân, không con nào tăng cân. Chỉ dùng voi, làm sao cân hai lần để xác định con giảm cân hoặc kết luận không con nào giảm?