ITOT 41 Spring 2020 - THPT A - Luyện tập cộng điểm

Gọi $U$ là miền đóng giữa $y=x^2$ và $y=x^2-1$. $U$ có chứa đoạn thẳng dài hơn $10^6$ không?

Alice chọn số nguyên dương $a,b,c$. Có đúng một bộ có thứ tự số nguyên dương $(x,y,z)$ thỏa $a=\operatorname{lcm}(x,y)$, $b=\operatorname{lcm}(x,z)$, $c=\operatorname{lcm}(y,z)$. Cô cho Bob biết bộ ấy tồn tại duy nhất và cho $a,b$. Chứng minh Bob xác định được $c$.

Một tứ diện có thể có hai thiết diện phẳng là hình vuông, một hình cạnh không quá 1, hình kia cạnh ít nhất 100 không?

Henry có 2 N khách phân biệt, N mũ trắng giống nhau và N mũ đen giống nhau. Anh phát hết mũ, xếp khách thành một hay nhiều vòng, mỗi vòng ít nhất hai người, hai người kề đội khác màu. Chứng minh có $(2N)!$ cách. Thứ tự vòng theo quy ước có hướng thông thường: quay vòng là một, không đồng nhất với đảo chiều.

Cho $ABCD$ nội tiếp. Hai đường tròn đường kính $AB,CD$ cắt nhau tại $X_1,Y_1$; các đường tròn đường kính $BC,AD$ tại $X_2,Y_2$; các đường tròn đường kính $AC,BD$ tại $X_3,Y_3$. Chứng minh ba đường $X_1Y_1,X_2Y_2,X_3Y_3$ có điểm chung. Mỗi cặp giao điểm nêu trong đề được hiểu là hai điểm phân biệt.

Trên bảng có 2 n số nguyên liên tiếp. Chia thành các cặp rồi đồng thời thay mỗi cặp bằng tổng và một trong hai hiệu có dấu. Chứng minh 2 n số thu được không thể lại là các số nguyên liên tiếp.

Lưới vuông vô hạn ban đầu trắng. Với số nguyên dương k nào có thể tô đen hữu hạn nhưng ít nhất một ô, sao cho mỗi hàng, cột và đường chéo theo cả hai hướng chứa đúng k ô đen hoặc không ô nào?