ITOT 41 Spring 2020 - THPT O - Luyện tập cộng điểm

Có thể điền mỗi ô bảng 40 nhân 41 một số nguyên sao cho số ấy bằng số ô chung cạnh chứa cùng số với nó không?

Sau chuyến đi Addis Ababa, Alice nói mình đã đón giao thừa ở bên trong mọi bán cầu có thể của Trái Đất, trừ đúng một bán cầu. Ít nhất cô đã đón tại bao nhiêu địa điểm? Coi địa điểm là điểm trên mặt cầu; điểm trên biên bán cầu không tính là ở trong. (Bản tiếng Anh chính thức gọi người đi là Sasha.)

Trên vòng tròn có 41 chữ, mỗi chữ là A hoặc B. Được thay ba chữ liên tiếp ABA bằng B hoặc ngược lại; tương tự thay BAB bằng A hoặc ngược lại. Có phải từ mọi từ vòng ban đầu đều thu được một chữ duy nhất?

Có tồn tại đa thức thực khác hằng $p(x)$ biểu diễn thành tổng $a(x)+b(x)$, với mỗi số hạng là bình phương một đa thức thực, theo (a) đúng một cách; (b) đúng hai cách không? Đổi thứ tự hai số hạng không tính là cách khác. Điểm gốc: 2+3.

Hai đường tròn cắt nhau tại $P,Q$. Đường $\ell$ qua $Q$ cắt chúng lần nữa ở $A,B$. Hai tiếp tuyến tại $A,B$ gặp nhau ở $C$. Phân giác góc $CPQ$ cắt đường $AB$ tại $D$. Chứng minh khi $\ell$ thay đổi, mọi vị trí của $D$ cùng nằm trên một đường tròn.