ITOT 42 Autumn 2020 - THCS A - Luyện tập cộng điểm

Một đường tròn cắt đẹp tứ giác nếu cắt mỗi cạnh tại đúng hai điểm phân biệt nằm trong cạnh. Có phải mọi tứ giác lồi đều có đường tròn cắt đẹp không?

Cặp số nguyên dương khác nhau gọi là dễ thương nếu trung bình cộng và trung bình nhân đều nguyên. Với mọi cặp dễ thương có luôn một cặp dễ thương khác cùng trung bình cộng không? Xem $(a,b)$ và $(b,a)$ là cùng cặp.

Mỗi lượt Alice nói số nguyên $x$. Bob viết $x$ hoặc $x$ cộng tổng mọi số đã có trên bảng. Ban đầu bảng trống. Alice có thể buộc sau hữu hạn lượt (a) số 5 xuất hiện ít nhất 100 lần; (b) số 10 xuất hiện ít nhất 100 lần không?

X-pentomino gồm năm ô vuông đơn vị: một ô giữa và bốn ô gắn vào bốn cạnh. Có thể cắt chín hình như vậy từ hình vuông 8 x 8 không? Không bắt buộc cắt theo đường lưới. Hình nguồn chỉ minh họa ba hình.

Có tồn tại 100 số nguyên dương khác nhau sao cho lập phương một số bằng tổng lập phương 99 số còn lại không?

Hai bàn tròn, mỗi bàn có $n$ chú lùn. Ban đầu mỗi chú chỉ là bạn với hai người ngồi kề ở bàn mình. Pháp sư được thêm 2 n cặp bạn, nhưng phù thủy xóa n cặp bạn mới đó. Với $n$ nào pháp sư bảo đảm xếp cả 2 n chú quanh một bàn sao cho mọi cặp kề đều là bạn?

Một tứ giác lồi có tính chất không bộ ba độ dài cạnh nào ghép được thành tam giác không suy biến. Chứng minh có ít nhất một góc (a) không quá 60 độ; (b) ít nhất 120 độ.