IMO 2023 — Toàn bộ Shortlist Câu hỏi 11

Đặt $n \geqslant 2$ là số nguyên dương. Paul có một dải hình chữ nhật $1 \times n^{2}$ bao gồm các hình vuông đơn vị $n^{2}$, trong đó hình vuông $i$ được gắn nhãn $i$ cho tất cả $1 \leqslant i \leqslant n^{2}$. Anh ta muốn cắt dải thành nhiều mảnh, trong đó mỗi mảnh bao gồm một số ô vuông đơn vị liên tiếp, sau đó tịnh tiến (không xoay hoặc lật) các mảnh để thu được một hình vuông $n \times n$ thỏa mãn tính chất sau: nếu ô vuông đơn vị trong hàng $i$ và cột $j$ được gắn nhãn $a_{i j}$ thì $a_{i j}-(i+j-1)$ chia hết cho $n$.

Xác định số mảnh nhỏ nhất mà Paul cần làm để hoàn thành việc này.