Câu hỏi 12
$\triangle ABC$ đều nội tiếp trong một đường tròn bán kính $2.$ Kéo dài $\overline{AB}$ đến $B$ đến điểm $D$ sao cho $AD = 13,$ và kéo dài $\overline{AC}$ đến $C$ đến điểm $E$ sao cho $AE = 11.$ Qua $D,$ vẽ một đường thẳng $\ell_1$ song song với $\overline{AE},$ và qua $E,$ vẽ một đường thẳng $\ell_2$ song song với $\overline{AD}.$ Gọi $F$ là giao điểm của $\ell_1$ và $\ell_2.$ Đặt $G$ là điểm trên đường tròn thẳng hàng với $A$ và $F$ và khác biệt với $A.$ Cho rằng diện tích của $\triangle CBG$ có thể được biểu thị dưới dạng $\frac{p\sqrt{q}}{r},$ trong đó $p,$ $q,$ và $r$ là các số nguyên dương, $p$ và $r$ là các số nguyên tố cùng nhau và $q$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào, hãy tìm $p + q + r.$