AIME I năm 2006

Trong tứ giác $ABCD,$ $\angle B$ là một góc vuông, đường chéo $\overline{AC}$ vuông góc với $\overline{CD},$ $AB = 18,$ $BC = 21,$ và $CD = 14.$ Tìm chu vi của $ABCD.$

Đặt $\mathcal{A}$ là tập hợp con phần tử $90$ của $\{1, 2, 3, \ldots, 100\},$ và đặt $S$ là tổng của các phần tử của $\mathcal{A}.$ Tìm số giá trị có thể có của $S.$

Tìm số nguyên dương nhỏ nhất sao cho khi xóa chữ số ngoài cùng bên trái của nó thì số nguyên thu được là $\frac{1}{29}$ của số nguyên ban đầu.

Đặt $N$ là số $0$ liên tiếp ở đầu bên phải của biểu diễn thập phân của tích $1!\,2!\,3!\,4! \cdots 99!\,100!.$ Tìm số dư khi $N$ được chia cho $1000.$

Số $$
\small \sqrt{104\sqrt{6} + 468\sqrt{10} + 144\sqrt{15} + 2006}
$$ có thể được viết là $a\sqrt{2} + b\sqrt{3} + c\sqrt{5},$ trong đó $a,$ $b,$ và $c$ là số nguyên dương. Tìm $a \cdot b \cdot c.$

Đặt $\mathcal{S}$ là tập hợp các số thực có thể được biểu diễn dưới dạng số thập phân lặp lại có dạng $0.\overline{abc}$ trong đó $a,$ $b,$ $c$ là các chữ số riêng biệt. Tìm tổng các phần tử của $\mathcal{S}.$

Một góc được vẽ trên một tập hợp các đường thẳng song song cách đều nhau như hình vẽ. Tỷ lệ của diện tích của vùng được tô bóng $\mathcal{C}$ với diện tích của vùng được tô bóng $\mathcal{B}$ là $\frac{11}{5}.$ Tìm tỷ lệ của diện tích của vùng được tô bóng $\mathcal{D}$ với diện tích của vùng được tô bóng vùng $\mathcal{A}.$

Hình lục giác $ABCDEF$ được chia thành năm hình thoi, $\mathcal{P},$ $\mathcal{Q},$ $\mathcal{R},$ $\mathcal{S},$ và $\mathcal{T},$ như hình. Hình thoi $\mathcal{P},$ $\mathcal{Q},$ $\mathcal{R},$ và $\mathcal{S}$ là bằng nhau và mỗi hình có diện tích $\sqrt{2006}.$ Giả sử $K$ là diện tích của hình thoi $\mathcal{T}.$ Cho rằng $K$ là số nguyên dương, hãy tìm số giá trị có thể có của $K.$

Dãy số $a_1,$ $a_2,$ $\ldots$ có dạng hình học với $a_1 = a$ và tỷ lệ chung $r,$ trong đó $a$ và $r$ là các số nguyên dương. Cho rằng $\log_8 a_1 + \log_8 a_2 + \cdots + \log_8 a_{12}$ $= 2006,$ tìm số cặp có thể có thứ tự $(a, r).$

Tám vòng tròn có đường kính $1$ được xếp vào góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng tọa độ như được hiển thị. Đặt vùng $\mathcal{R}$ là hợp của tám vùng hình tròn. Đường $\ell,$ có độ dốc $3,$ chia $\mathcal{R}$ thành hai vùng bằng nhau diện tích. Phương trình của Dòng $\ell$ có thể được biểu thị dưới dạng $ax = by + c,$ trong đó $a,$ $b,$ và $c$ là các số nguyên dương có ước chung lớn nhất là $1.$ Tìm $a^2 + b^2 + c^2.$

Một tập hợp các khối $8$ bao gồm một khối có chiều dài cạnh $k$ cho mỗi số nguyên $k,$ $1 \le k \le 8.$ Một tòa tháp sẽ được xây dựng bằng cách sử dụng tất cả các khối $8$ theo các quy tắc:

• Bất kỳ khối nào cũng có thể là khối dưới cùng của tháp.

• Khối lập phương ngay trên khối lập phương có độ dài cạnh $k$ phải có độ dài cạnh nhiều nhất $k + 2.$

Gọi $T$ là số lượng tháp khác nhau có thể được xây dựng. số dư là gì khi $T$ được chia cho $1000?$

Tìm tổng các giá trị của $x$ sao cho $\cos^3 3x + \cos^3 5x$ $= 8 \cos^3 4x \cos^3 x,$ trong đó $x$ được đo bằng độ và $100 \lt x \lt 200.$

Đối với mỗi số nguyên dương chẵn $x,$ hãy để $g(x)$ biểu thị lũy thừa lớn nhất của $2$ chia cho $x.$ Ví dụ: $g(20) = 4$ và $g(16) = 16.$ Với mỗi số nguyên dương $n,$ hãy để $S_n = \sum_{k=1}^{2^{n-1}} g(2k).$ Tìm số nguyên lớn nhất $n$ nhỏ hơn $1000$ sao cho $S_n$ là số chính phương.

Một chân máy có ba chân, mỗi chân có chiều dài $5$ feet. Khi thiết lập chân máy, góc giữa bất kỳ cặp chân nào cũng bằng góc giữa bất kỳ cặp chân nào khác và đỉnh của chân máy cách mặt đất $4$ feet. Khi lắp đặt chân máy, chân $1$ phía dưới của một chân bị gãy. Đặt $h$ là chiều cao tính bằng feet của đỉnh chân máy tính từ mặt đất khi chân máy bị hỏng được lắp đặt. Khi đó $h$ có thể được viết dưới dạng $\frac{m}{\sqrt{n}},$ trong đó $m$ và $n$ là số nguyên dương và $n$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $\lfloor m + \sqrt{n} \rfloor.$ (Ký hiệu $\lfloor x \rfloor$ biểu thị số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng $x.$)

Cho rằng một dãy thỏa mãn $x_0 = 0$ và $|x_k| = |x_{k-1} + 3|$ cho tất cả các số nguyên $k \ge 1,$ tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của $|x_1 + x_2 + \cdots + x_{2006}|.$