Cho tam giác vuông $ABC$ với $\angle BAC=90^\circ$. Đường cao từ $A$ cắt cạnh $BC$ tại $D$. Gọi $I,I_B,I_C$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $ABC,ABD,ACD$. Gọi $E_B,E_C$ lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác $ABC$ đối diện các đỉnh $B,C$. Nếu $K$ là giao điểm của các đường tròn ngoại tiếp $E_CIB_I$ và $E_BIC_I$, chứng minh rằng $KI$ đi qua trung điểm $M$ của cạnh $BC$.
Làm rõ ký hiệu dựa trên hình gốc: nguồn viết $B_I,C_I$ trong khi các điểm đã được định nghĩa là $I_B,I_C$. Do đó hai đường tròn là $(E_C,I,I_B)$ và $(E_B,I,I_C)$, còn $K$ là giao điểm của chúng khác $I$, đúng như hình gốc thể hiện. Khi đó đường thẳng $KI$ được xác định.
Có thể biểu diễn mọi số hữu tỉ dương $q$ dưới dạng
$$
\frac{a^{2021}+b^{2023}}{c^{2022}+d^{2024}},
$$
trong đó $a,b,c,d$ đều là các số nguyên dương, hay không?
Angel có một nhà kho, ban đầu chứa $100$ đống rác, mỗi đống có $100$ mẩu rác. Mỗi buổi sáng, Angel hoặc dọn sạch toàn bộ một đống rác, hoặc dọn một mẩu rác ở mỗi đống. Tuy nhiên, mỗi buổi tối, một con quỷ lẻn vào nhà kho và hoặc thêm một mẩu rác vào mỗi đống còn rác, hoặc tạo một đống mới gồm một mẩu rác. Buổi sáng đầu tiên mà Angel có thể bảo đảm dọn sạch toàn bộ rác trong nhà kho là buổi sáng nào?
Cho tam giác nhọn $ABC$ có $AC\gt AB$ và đường tròn ngoại tiếp $\Gamma$. Tiếp tuyến tại $A$ của $\Gamma$ cắt đường thẳng $BC$ tại $T$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ và $R$ là điểm đối xứng của $A$ qua $B$. Lấy điểm $S$ sao cho $SABT$ là hình bình hành. Cuối cùng, lấy điểm $P$ trên đường thẳng $SB$ sao cho $MP$ song song với $AB$.
Biết rằng $P$ nằm trên $\Gamma$, chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $STR$ tiếp xúc với đường thẳng $AC$.
Cho số nguyên dương $n$. Tìm tất cả các bộ $(n-1)$ số nguyên không âm $a_1,a_2,\ldots,a_{n-1}$ sao cho
$$\left[\frac{m}{2^n-1}\right]+\left[\frac{2m+a_1}{2^n-1}\right]+\left[\frac{2^2m+a_2}{2^n-1}\right]+\left[\frac{2^3m+a_3}{2^n-1}\right]+\cdots+\left[\frac{2^{n-1}m+a_{n-1}}{2^n-1}\right]=m$$
với mọi $m\in\mathbb Z$. Dấu ngoặc vuông chỉ hàm phần nguyên.
Có một quần thể $P$ gồm $10000$ vi khuẩn; một số cặp là bạn của nhau (quan hệ bạn bè là đối xứng). Mỗi vi khuẩn có ít nhất một người bạn. Nếu gán cho mỗi vi khuẩn một màng có màu sao cho hai vi khuẩn là bạn không có cùng màu, thì có thể làm được bằng $2021$ màu, nhưng không thể bằng $2020$ màu hoặc ít hơn.
Hai vi khuẩn bạn nhau $A,B$ có thể quyết định nhập lại thành một vi khuẩn duy nhất, có tập bạn bè chính là hợp của các tập bạn bè của $A,B$. Không được nhập hai vi khuẩn không phải là bạn. Biết rằng bất kể thực hiện một lần nhập hay hai lần nhập liên tiếp như thế nào, quần thể thu được đều có thể được gán $2020$ màu hoặc ít hơn sao cho hai vi khuẩn là bạn không có cùng màu. Có đúng là trong mọi quần thể $P$ như vậy, mỗi vi khuẩn có ít nhất $2021$ người bạn không?
Cho tam giác nhọn $ABC$ với $AB\lt AC$. Gọi $\omega$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, và giả sử tiếp tuyến của $\omega$ tại $A$ cắt đường thẳng $BC$ ở $D$. Gọi $\Omega$ là đường tròn tâm $D$, bán kính $AD$. Ký hiệu $E$ là giao điểm thứ hai của $\omega$ và $\Omega$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Đường thẳng $BE$ cắt $\Omega$ lần nữa tại $X$, và đường thẳng $CX$ cắt $\Omega$ lần thứ hai tại $Y$. Chứng minh rằng $A,Y,M$ thẳng hàng.
Cho các số nguyên dương $a,b,c$ thỏa mãn $(a,b)+[a,b]=2021^c$, trong đó $(a,b)$ và $[a,b]$ lần lượt là ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của $a,b$. Nếu $|a-b|$ là số nguyên tố, hãy chứng minh rằng $(a+b)^2+4$ là hợp số.
Cho tam giác nhọn $ABC$ không có hai cạnh bằng nhau. Đường tròn bàng tiếp đối diện $C$, tiếp xúc với đoạn $AB$, có tiếp điểm với $AB$ là $M$ và tiếp điểm với phần kéo dài của $BC$ qua $B$ là $N$. Tương tự, đường tròn bàng tiếp đối diện $B$, tiếp xúc với đoạn $AC$, có tiếp điểm với $AC$ là $P$ và tiếp điểm với phần kéo dài của $BC$ qua $C$ là $Q$. Gọi $A_1$ là giao điểm hai đường thẳng $MN,PQ$, và $A_2$ là điểm đối xứng với $A$ qua $A_1$. Định nghĩa $B_2,C_2$ theo cách tương tự. Chứng minh rằng $\triangle ABC$ đồng dạng với $\triangle A_2B_2C_2$.
Một tam giác được gọi là tam giác siêu nguyên nếu độ dài cả ba cạnh và ít nhất một đường cao của nó đều là số nguyên dương. Một số số nguyên dương được gọi là số tốt, với điều kiện: nếu độ dài hai cạnh của một tam giác siêu nguyên là hai số tốt (không nhất thiết khác nhau), thì độ dài cạnh còn lại cũng là số tốt. Biết rằng $5$ là số tốt. Chứng minh rằng mọi số nguyên lớn hơn $2$ đều là số tốt.
Cho tam giác không cân $ABC$ có tâm nội tiếp $I$. Hình chiếu vuông góc của $I$ lên $BC,CA,AB$ lần lượt là $D,E,F$. Gọi $K$ là ảnh đối xứng của $D$ qua đường thẳng $AI$, và $L$ là giao điểm thứ hai của các đường tròn ngoại tiếp hai tam giác $BFK$ và $CEK$. Nếu $\frac13BC=AC-AB$, chứng minh rằng $DE=2KL$.
Cho số thực $a$. Chứng minh rằng tồn tại các số thực $b,c$ sao cho các bất đẳng thức
$$\min\{\sin x,\sin(a+x)\}\le b\sin(x+c)\le\max\{\sin x,\sin(a+x)\}$$
đúng với mọi số thực $x$, và dấu bằng chỉ xảy ra khi $\sin x=\sin(a+x)$.
Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Các điểm $D,E,F$ lần lượt là ảnh đối xứng của $O$ qua các đường thẳng $BC,CA,AB$. Chứng minh rằng các đường thẳng $AD,BE,CF$ đồng quy.
Cho số thực $t\ne0$ và số nguyên dương $n$. Cho các số thực $a_1,a_2,\ldots,a_{2n-1}$, không nhất thiết đôi một khác nhau. Chứng minh rằng tồn tại các chỉ số $i_1\lt i_2\lt\cdots\lt i_n$ sao cho $a_{i_k}-a_{i_l}\ne t$ với mọi $1\le k,l\le n$.
Điểm $P$ nằm trong tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm của cạnh $BC$, và $P'$ đối xứng với $P$ qua $M$. Các điểm $K,H$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $P$ lên $AB,AC$, và $KM=HM$. Chứng minh rằng $\angle PAB=\angle CAP'$.
Cho hai điểm $A,B$ thuộc đường tròn $\omega$ tâm $O$, trong đó $O$ không nằm trên đường thẳng $AB$. Điểm $C$ thuộc đoạn $AB$; gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AC,CB$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AON$ cắt $\omega$ tại $A,K$, còn đường tròn ngoại tiếp tam giác $BOM$ cắt $\omega$ tại $B,L$. Ngoài ra, hai đường tròn ngoại tiếp tam giác $AON$ và $BOM$ cắt nhau tại $O,X$. Chứng minh rằng tứ giác $CKXL$ nội tiếp.