(BUL 1) Tập $M=\{1,2,\ldots,2n\}$ được chia thành $k$ tập con đôi một không giao nhau $M_1,M_2,\ldots,M_k$, với $n\ge k^3+k$. Chứng minh rằng tồn tại các số chẵn $2j_1,2j_2,\ldots,2j_{k+1}$ trong $M$ cùng thuộc một tập con $M_i$ ($1\le i\le k$), sao cho các số $2j_1-1,2j_2-1,\ldots,2j_{k+1}-1$ cũng cùng thuộc một tập con $M_j$ ($1\le j\le k$).
(BUL 4) Trong mặt phẳng, cho hai tam giác đều cùng hướng $ABC$ có tâm $S$ và $A'B'C$. Biết thêm rằng $A'\ne S$ và $B'\ne S$. Nếu $M$ là trung điểm của $A'B$ và $N$ là trung điểm của $AB'$, chứng minh rằng hai tam giác $SB'M$ và $SA'N$ đồng dạng.
(CUB 3; IMO 1) Cho các số tự nhiên $n\gt m\ge1$ sao cho ba chữ số tận cùng trong biểu diễn thập phân của $1978^m,1978^n$ trùng nhau. Tìm cặp có thứ tự $(m,n)$ với $m,n$ thỏa mãn điều kiện ấy sao cho $m+n$ nhỏ nhất.
(CZS 2) Cho tam giác $T_1$ có độ dài các cạnh là $a,b,c$ và tam giác $T_2$ có độ dài các cạnh là $u,v,w$. Nếu $P,Q$ là diện tích của hai tam giác, chứng minh rằng
$$16PQ\le a^2(-u^2+v^2+w^2)+b^2(u^2-v^2+w^2)+c^2(u^2+v^2-w^2).$$
Khi nào xảy ra dấu bằng?
(GDR 2) Với mỗi số nguyên $d\ge1$, gọi $M_d$ là tập các số nguyên dương không thể viết thành tổng của một cấp số cộng có công sai $d$, có ít nhất hai số hạng và mọi số hạng đều là số nguyên dương. Đặt $A=M_1$, $B=M_2\setminus\{2\}$, $C=M_3$. Chứng minh rằng mỗi $c\in C$ đều có thể viết duy nhất dưới dạng $c=ab$ với $a\in A,b\in B$.
(FRA 2; IMO 5) Cho đơn ánh $\varphi:\{1,2,3,\ldots\}\to\{1,2,3,\ldots\}$. Chứng minh rằng với mọi $n$,
$$\sum_{k=1}^n\frac{\varphi(k)}{k^2}\ge\sum_{k=1}^n\frac1k.$$
(FRA 5) Xét ba tia phân biệt $Ox,Oy,Oz$ trong một mặt phẳng. Chứng minh sự tồn tại và duy nhất của ba điểm $A\in Ox,B\in Oy,C\in Oz$ sao cho chu vi các tam giác $OAB,OBC,OCA$ đều bằng số cho trước $2p\gt 0$.
(GBR 4) Gọi $S$ là tập tất cả các số nguyên dương lẻ không chia hết cho $5$ và nhỏ hơn $30m$, trong đó $m$ là một số nguyên dương bất kỳ. Số nguyên $k$ nhỏ nhất bằng bao nhiêu để mọi tập con gồm $k$ số nguyên của $S$ đều chứa hai số khác nhau mà một số là ước của số kia?
(GBR 5; IMO 3) Cho dãy số nguyên dương tăng nghiêm ngặt $\{f(n)\}$: $0\lt f(1)\lt f(2)\lt f(3)\lt \cdots$. Trong các số nguyên dương không thuộc dãy, số nhỏ thứ $n$ là $f(f(n))+1$. Tính $f(240)$.
(NET 1; IMO 6) Một hội quốc tế có các thành viên ở $6$ nước khác nhau. Danh sách thành viên gồm $1978$ tên, được đánh số $1,2,\ldots,1978$. Chứng minh rằng có ít nhất một thành viên mang số bằng tổng các số của hai người cùng nước với mình, không nhất thiết là hai người khác nhau.
(SWE 2) Hàm số $f:I\to\mathbb R$, xác định trên khoảng $I$, được gọi là lõm nếu $f(\theta x+(1-\theta)y)\ge\theta f(x)+(1-\theta)f(y)$ với mọi $x,y\in I$ và $0\le\theta\le1$. Giả sử các hàm số $f_1,\ldots,f_n$ đều nhận giá trị không âm và đều lõm. Chứng minh rằng hàm số $(f_1f_2\cdots f_n)^{1/n}$ là hàm lõm.
(USA 1; IMO 4) Trong tam giác $ABC$, ta có $AB=AC$. Một đường tròn tiếp xúc trong với đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và tiếp xúc với các cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $P,Q$. Chứng minh rằng trung điểm của $PQ$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.
(USA 6; IMO 2) Cho điểm $P$ bất kỳ bên trong một mặt cầu bán kính $R$. Vẽ ba đoạn thẳng $PA,PB,PC$ đôi một vuông góc, có chung đầu mút $P$ và các đầu mút còn lại nằm trên mặt cầu. Xét hình hộp chữ nhật nhận $PA,PB,PC$ làm ba cạnh chung một đỉnh. Hãy tìm quỹ tích điểm $Q$ đối diện với $P$ qua đường chéo của hình hộp khi $P$ và mặt cầu cố định.
(VIE 2) Chứng minh rằng có thể xếp $2n(2n+1)$ bánh xà phòng hình hộp chữ nhật có kích thước $1\times2\times(n+1)$ vào một hộp lập phương cạnh $2n+1$ khi và chỉ khi $n$ chẵn hoặc $n=1$.
Nhận xét. Giả sử các cạnh của các bánh xà phòng song song với các cạnh của hộp.
(YUG 1) Cho số nguyên tố $p$ và một tập con bất kỳ $A=\{a_1,\ldots,a_{p-1}\}$ của tập số tự nhiên sao cho không phần tử nào chia hết cho $p$. Xác định ánh xạ $f$ từ $\mathcal P(A)$ (tập tất cả các tập con của $A$) đến $P=\{0,1,\ldots,p-1\}$ như sau:
(i) nếu $B=\{a_{i_1},\ldots,a_{i_k}\}\subset A$ và $\sum_{j=1}^k a_{i_j}\equiv n\pmod p$, thì $f(B)=n$;
(ii) $f(\varnothing)=0$, trong đó $\varnothing$ là tập rỗng.
Chứng minh rằng với mỗi $n\in P$ đều tồn tại tập con $B\subset A$ sao cho $f(B)=n$.
(YUG 2) Tìm tất cả các bộ ba số thực dương $(a,b,c)$ sao cho hệ
$$ax+by-cz=0,$$
$$a\sqrt{1-x^2}+b\sqrt{1-y^2}-c\sqrt{1-z^2}=0$$
có nghiệm thực, rồi tìm tất cả các nghiệm thực của hệ.
(FRA 3) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $x,y,z$ thỏa mãn $xy-z^2=1$, tồn tại các số nguyên không âm $a,b,c,d$ sao cho $x=a^2+b^2$, $y=c^2+d^2$, $z=ac+bd$.
Đặt $z=(2q)!$ để suy ra rằng với mọi số nguyên tố $p=4q+1$, số $p$ biểu diễn được thành tổng bình phương của hai số nguyên.