Một dãy gồm $n$ số nguyên dương $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ được gọi là *tốt* nếu thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
* $a_1 \lt a_2 \lt a_3 \lt \dots \lt a_n$,
* $a_1 + a_2^2 + a_3^3 + \dots + a_n^n \le 2023$.
Với mỗi $n \ge 1$, hãy tìm số các dãy tốt gồm $n$ số.
Mỗi ô của một lưới ô vuông vô hạn có một bóng đèn. Ban đầu tất cả các bóng đèn đều *tắt*. Mỗi lượt đi gồm việc chọn một hình vuông $3 \times 3$, $4 \times 4$ hoặc $5 \times 5$ nằm trên lưới và đổi trạng thái tất cả các bóng đèn trong hình vuông đó từ *bật* sang *tắt* hoặc ngược lại.
a. Chứng minh rằng với mọi tập hữu hạn $S$ các bóng đèn, sau một số hữu hạn lượt đi có thể đạt được trạng thái mà các bóng đèn đang *bật* chính xác là các bóng trong $S$.
b. Chứng minh rằng nếu một dãy các lượt đi chỉ dùng hai trong ba kích thước hình vuông, thì không thể đạt được trạng thái cuối cùng mà các bóng đèn đang *bật* chính xác là các bóng nằm trong một hình vuông $2 \times 2$.
Ta nói một tam giác đều trên mặt phẳng ở *vị trí chuẩn* nếu một cạnh của nó nằm ngang và đỉnh đối diện nằm phía trên cạnh đó. Cho $n$ tam giác đều $S_1, S_2, \dots, S_n$, tất cả đều ở vị trí chuẩn. Với mỗi tam giác $S_i$, gọi $T_i$ là tam giác trung bình của nó. Gọi $S$ là miền mặt phẳng được phủ bởi các tam giác $S_1, S_2, \dots, S_n$, và $T$ là miền mặt phẳng được phủ bởi các tam giác $T_1, T_2, \dots, T_n$. Chứng minh rằng $\text{diện tích}(S) \le 4 \cdot \text{diện tích}(T)$.
Một dãy số nguyên được xác định như sau: $a_1 = 1$, $a_2 = 2$, và với mỗi $n \ge 2$, $a_{n+1}$ bằng ước nguyên tố lớn nhất của $a_1 + a_2 + \dots + a_n$. Tính $a_{100}$.
Cho tam giác nhọn $ABC$. Gọi $D, E, F$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC, CA, AB$. Đường tròn đường kính $AD$ cắt các đường thẳng $AB$ và $AC$ lần thứ hai lần lượt tại $P$ và $Q$. Đường thẳng qua $P$ song song với $BC$ cắt đường thẳng $DE$ tại $R$, đường thẳng qua $Q$ song song với $BC$ cắt đường thẳng $DF$ tại $S$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $DPR$ cắt $AB$ lần thứ hai tại $X$, đường tròn ngoại tiếp tam giác $DQS$ cắt $AC$ lần thứ hai tại $Y$, và hai đường tròn này cắt nhau lần thứ hai tại $Z$. Chứng minh rằng $Z$ là trung điểm của $XY$.
Cho $x_1, x_2, \dots, x_n$ là các số thực dương. Với mỗi số nguyên dương $k$, đặt
$$
S_k = x_1^k + x_2^k + \dots + x_n^k.
$$
(a) Chứng minh rằng nếu $S_1 \lt S_2$ thì dãy $S_1, S_2, S_3, \dots$ tăng ngặt.
(b) Chứng minh rằng có thể xảy ra $S_1 \gt S_2$ nhưng dãy $S_1, S_2, S_3, \dots$ không giảm ngặt.
Trên bảng viết số có 400 chữ số $N = 20232023\ldots2023$, được tạo thành từ 100 lần viết liên tiếp $2023$. Lionel phải xóa một số chữ số của $N$ sao cho số nhận được chia hết cho $84$ và lớn nhất có thể. Hãy xác định Lionel cần xóa những chữ số nào.
Ban đầu ta có một tam giác giấy $ABC$ với $\angle BAC = 120^\circ$. Ở bước thứ nhất, ta vẽ các đường phân giác của ba góc của tam giác, chúng cắt nhau tại $I$, rồi dùng kéo cắt dọc theo các đoạn $AI$, $BI$ và $CI$, thu được 3 tam giác: $ABI$, $BCI$ và $CAI$. Ở bước thứ hai ta lặp lại quy trình đó với ba tam giác, tức là: mỗi tam giác được cắt thành ba tam giác nhỏ hơn dọc theo các đường phân giác. Kết thúc bước thứ hai ta có tổng cộng 9 tam giác. Quy trình tiếp tục như vậy cho đến khi hoàn thành 10 bước.
Hỏi khi kết thúc quá trình, có bao nhiêu tam giác có một góc bằng $120^\circ$?
Các đỉnh của một lục giác đều được đánh dấu trên bảng. Ana vẽ một số đoạn thẳng là cạnh hoặc đường chéo của lục giác, tùy ý theo cách cô muốn (cô thậm chí có thể không vẽ đoạn nào, hoặc vẽ cả 15 đoạn có thể).
Sau đó, Beto viết một số nguyên dương lên mỗi đỉnh sao cho điều kiện sau được thỏa mãn: nếu hai đỉnh được nối bởi một đoạn thẳng do Ana vẽ thì hai số tương ứng phải có một ước chung lớn hơn 1; ngược lại, nếu chúng không được nối bởi đoạn thẳng nào thì hai số đó không được có ước chung nào lớn hơn 1.
a. Chứng minh rằng Beto luôn có thể hoàn thành nhiệm vụ.
b. Sau khi Beto hoàn thành nhiệm vụ, anh phải trả cho Ana $M$ peso, trong đó $M$ là số lớn nhất trong 6 số Beto đã viết. Beto muốn trả càng ít càng tốt còn Ana muốn nhận được càng nhiều peso càng tốt. Hỏi Ana có thể vẽ các đoạn thẳng sao cho chắc chắn nhận được nhiều hơn 2023 peso không?
Một số nguyên $n \ge 3$ được gọi là *số Pythagore đa giác* nếu tồn tại $n$ số nguyên dương đôi một khác nhau có thể đặt vào các đỉnh của một $n$-giác đều sao cho tổng bình phương của hai số ở hai đỉnh liên tiếp bất kỳ là một số chính phương. Chẳng hạn, 3 là một số Pythagore đa giác vì khi đặt 44, 117 và 240 vào các đỉnh của một tam giác, ta có $44^2 + 117^2 = 125^2$, $117^2 + 240^2 = 267^2$ và $240^2 + 44^2 = 244^2$. Tìm tất cả các số Pythagore đa giác.
Cho tứ giác lồi $ABCD$ sao cho $AB = CD$, $\angle BCD = 2\angle BAD$, $\angle ABC = 2\angle ADC$ và $\angle BAD \neq \angle ADC$. Tìm góc giữa hai đường chéo $AC$ và $BD$.
Cho các số nguyên $n \gt d \gt 0$. Ana, Beto và Carlitos chơi trò *bịt mắt bắt dê* trên một lưới ô vuông vô hạn. Ban đầu, Ana và Carlitos ở hai ô cách nhau khoảng cách $n$, và có một viên kẹo ở một ô cách Carlitos khoảng cách $d$. Carlitos bị bịt mắt và chỉ nhìn thấy ô của mình, còn Ana và Beto nhìn thấy toàn bộ lưới. Hai loại lượt đi được thực hiện luân phiên.
1. Carlitos di chuyển sang một ô kề. Nếu gặp Ana ở đó, Carlitos thua. Nếu gặp viên kẹo mà không gặp Ana, Carlitos thắng. Nếu ô đó trống, Beto hô "nóng" hoặc "lạnh", tùy ý anh.
2. Ana di chuyển sang một ô kề. Nếu cô gặp Carlitos hoặc viên kẹo, Ana thắng. Nếu không, trò chơi tiếp tục.
Với mỗi $d$, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của $n$ sao cho Beto và Carlitos có thể phối hợp một chiến thuật để đảm bảo Carlitos chiến thắng, bất kể vị trí ban đầu của Ana, Carlitos và viên kẹo.
*Chú ý:* Hai ô được gọi là kề nhau nếu chúng có chung một cạnh. Khoảng cách giữa hai ô $X$ và $Y$ là số $p$ nhỏ nhất sao cho tồn tại dãy ô $X = X_0, X_1, \dots, X_p = Y$ với $X_i$ kề $X_{i-1}$ với mọi $i = 1, \dots, p$.
Một tập hợp điểm được gọi là *phản hình bình hành* nếu không có bốn điểm nào trong đó là các đỉnh của một hình bình hành. Cho tập $S$ gồm $2023$ điểm trên mặt phẳng, không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng tồn tại một tập con của $S$ gồm $17$ điểm là phản hình bình hành.
Ta nói số nguyên dương $N$ là *rioplatense* nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau:
* Có thể tìm được 34 số nguyên liên tiếp sao cho tích của chúng chia hết cho $N$ nhưng không số nào trong chúng chia hết cho $N$.
* *Không* thể tìm được 30 số nguyên liên tiếp sao cho tích của chúng chia hết cho $N$ nhưng không số nào trong chúng chia hết cho $N$.
Tìm tất cả các số nguyên rioplatense.
Gọi $\mathbb{Z}$ là tập hợp các số nguyên. Tìm tất cả các hàm số $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$
sao cho
$$
f(x + f(y + 1)) + f(xy) = f(x + 1)(f(y) + 1)
$$
với mọi số nguyên $x, y$.
Cho tứ giác lồi $ABCD$ với $AB \gt AD$ và $\angle B = \angle D = 90^\circ$. Gọi $P$ là điểm trên cạnh $AB$ sao cho $AP = AD$. Các đường thẳng $PD$ và $BC$ cắt nhau tại $Q$. Đường thẳng qua $Q$ vuông góc với $AC$ cắt $AB$ tại $R$. Gọi $S$ là chân đường vuông góc hạ từ $D$ xuống $AC$. Chứng minh rằng $\angle PSQ = \angle RCP$.
Thành phố sông nước Platense gồm một số bến nổi và các cây cầu nối giữa chúng. Mỗi cây cầu nối hai bến và không có hai cây cầu nào cùng nối một cặp bến. Thị trưởng muốn thay đổi một số cây cầu thông qua một chuỗi các bước như sau: nếu có ba bến $A$, $B$, $C$ với các cầu $AB$ và $AC$ nhưng không có cầu $BC$, thì có thể đổi cầu $AB$ thành cầu $BC$.
Một cấu hình cầu được gọi là *tốt* nếu có thể đi từ bến bất kỳ đến bến bất kỳ khác chỉ bằng các cây cầu. Chứng minh rằng xuất phát từ một cấu hình tốt, thị trưởng có thể đạt được bất kỳ cấu hình tốt nào khác có cùng số cây cầu, bằng các bước đã mô tả.
Mati chơi với một số hộp ma thuật và một cỗ máy. Mỗi hộp chứa một giá trị bên trong. Khi mở một hộp, Mati nhìn thấy giá trị của nó, cộng giá trị đó vào điểm của mình và hộp bị hủy (nếu giá trị của hộp âm thì Mati bị trừ điểm). Khi đặt một hộp ma thuật có giá trị $X$ vào máy, hộp này bị hủy và ta nhận được hai hộp ma thuật có giá trị $X + 1$ và $X - 1$ (không biết hộp nào là hộp nào, nhưng có thể phân biệt hai hộp mới với các hộp khác). Lúc bắt đầu trò chơi, Mati có 0 điểm và một hộp ma thuật mà anh biết giá trị bằng 0.
a. Chứng minh rằng Mati có thể đảm bảo đạt được 1000 điểm trở lên.
b. Hỏi Mati có thể đảm bảo đạt được 1000000 điểm trở lên mà không bao giờ có ít hơn -42 điểm hay không?
Gọi $\mathbb{R}^+$ là tập hợp các số thực dương. Tìm tất cả các số thực không âm $\alpha$ sao cho tồn tại hàm số $f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ thỏa mãn
$$
f(x^{\alpha} + y) = (f(x + y))^{\alpha} + f(y)
$$
với mọi $x, y \in \mathbb{R}^+$.
