Cho tam giác nhọn $ABC$. Các điểm $B'$ và $C'$ lần lượt nằm trên tia đối của tia $CA$ và tia đối của tia $BA$ sao cho $|B'C| = |AB|$ và $|C'B| = |AC|$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AB'C'$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. (Patrik Bak)
Cho hai số nguyên dương lẻ $k$ và $n$. Với mỗi cặp số nguyên dương $i, j$ thỏa mãn $1 \le i \le k$ và $1 \le j \le n$, Martin viết phân số $i/j$ lên bảng. Hãy xác định trung vị của tất cả các phân số này, tức là số thực $q$ sao cho nếu ta sắp xếp tất cả các phân số trên bảng theo giá trị từ nhỏ đến lớn (các phân số có cùng giá trị xếp theo thứ tự tùy ý) thì ở chính giữa danh sách này là một phân số có giá trị $q$. (Martin Melicher)
Cho tam giác nhọn không cân $ABC$. Đường phân giác của góc $BAC$ và các đường trung trực của các cạnh $AB$, $AC$ tạo thành một tam giác. Chứng minh rằng trực tâm của tam giác đó nằm trên đường trung tuyến kẻ từ đỉnh $A$.
Xét dãy số $(a_n)_{n=1}^\infty$ được xác định như sau:
$$
a_1 = 3 \quad a_n = a_1a_2a_3 \dots a_{n-1} - 1 \quad \text{với mọi } n \ge 2.
$$
*Chứng minh rằng tồn tại*
a) vô số số nguyên tố chia hết ít nhất một số hạng của dãy này;
b) vô số số nguyên tố không chia hết số hạng nào của dãy này.
Trong tứ giác lồi $ABCD$ có $|AB| = |BC| = |CD|$. Hơn nữa, với giao điểm $P$ của hai đường chéo, ta có $|\angle APD| \lt 90^\circ$. Gọi $R$ và $S$ lần lượt là điểm đối xứng của $A$ qua $BD$ và của $D$ qua $AC$. Chứng minh rằng các đường thẳng $BC$ và $RS$ song song.
Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương $a$, $b$, $c$ sao cho tích
$$(a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c+2036)$$
bằng một lũy thừa với số mũ nguyên của một số nguyên tố.
Cho tam giác nhọn $A B C$. Gọi $D$ là điểm trên đường tròn ngoại tiếp của nó sao cho $A D$ là đường kính. Giả sử các điểm $K$ và $L$ lần lượt nằm trên các đoạn $A B$ và $A C$, và $D K$, $D L$ tiếp xúc với đường tròn $A K L$.
Chứng minh rằng đường thẳng $K L$ đi qua trực tâm của tam giác $A B C$.
Các đường cao của một tam giác đồng quy tại trực tâm của nó.
Cho $k$ là một số nguyên dương. Lexi có một từ điển $\mathcal{D}$ gồm một số xâu $k$ chữ cái chỉ chứa các chữ $A$ và $B$. Lexi muốn viết chữ $A$ hoặc chữ $B$ vào mỗi ô của một bảng $k \times k$ sao cho mỗi cột, khi đọc từ trên xuống dưới, là một xâu thuộc $\mathcal{D}$ và mỗi hàng, khi đọc từ trái sang phải, là một xâu thuộc $\mathcal{D}$.
Số nguyên $m$ nhỏ nhất là bao nhiêu để nếu $\mathcal{D}$ chứa ít nhất $m$ xâu khác nhau thì Lexi luôn điền được bảng theo cách này, bất kể $\mathcal{D}$ gồm những xâu nào?
Cho số nguyên dương $s \geqslant 2$. Với mỗi số nguyên dương $k$, ta định nghĩa twist (phép xoắn) $k^{\prime}$ của nó như sau: viết $k$ dưới dạng $a s+b$, trong đó $a, b$ là các số nguyên không âm và $b \lt s$, khi đó $k^{\prime}=b s+a$. Với số nguyên dương $n$, xét dãy vô hạn $d_{1}, d_{2}, \ldots$ trong đó $d_{1}=n$ và $d_{i+1}$ là twist của $d_{i}$ với mọi số nguyên dương $i$.
Chứng minh rằng dãy này chứa số 1 khi và chỉ khi số dư khi chia $n$ cho $s^{2}-1$ là 1 hoặc $s$.
Cho tam giác $ABC$ và $H_C$ là chân đường cao kẻ từ $C$. Cho $P$ là một điểm trên đoạn $[CH_C]$ (khác $C$), và gọi $E, F, G, H$ lần lượt là trung điểm của $[AP]$, $[BP]$, $[BC]$, $[AC]$. Chứng minh rằng $EFGH$ là hình chữ nhật.
Cho tam giác nhọn $ABC$ (có tất cả các góc đều nhọn) với $BA \neq BC$. Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của nó. Đường thẳng $(AB)$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $BOC$ lần thứ hai tại $P \neq B$. Chứng minh rằng $PA = PC$.
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $B$ với $BC \lt BA$. Gọi $D$ là điểm trên đoạn $[AB]$ sao cho $BD = BC$. Đường thẳng qua $D$ vuông góc với $(AC)$ cắt $(AC)$ tại $E$. Gọi $B'$ là điểm đối xứng của $B$ qua $(CD)$. Chứng minh rằng $(EC)$ là đường phân giác của góc $\widehat{BEB'}$.
Cho tam giác $ABC$ và $I$ là tâm đường tròn nội tiếp của nó. Đường trung trực của $[BC]$ cắt $(AI)$ tại $S$ và cắt $(BI)$ tại $T$. Chứng minh rằng $C$, $I$, $S$ và $T$ cùng thuộc một đường tròn.
Cho $ABCDE$ là ngũ giác lồi nội tiếp đường tròn sao cho $AB = BD$. Gọi $P$ là giao điểm của các đường thẳng $(EB)$ và $(AC)$. Gọi $Q$ là giao điểm của các đường thẳng $(BC)$ và $(DE)$. Chứng minh rằng $(PQ)$ và $(AD)$ song song.
Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp và $I$ là tâm đường tròn nội tiếp của nó. Đường thẳng qua $I$ song song với $(AB)$ cắt $(AC)$ tại $D$. Chứng minh rằng $(CI)$ và $(DO)$ vuông góc với nhau.
Cho tam giác $ABC$, $D, E$ lần lượt là chân các đường cao kẻ từ $A$ và $B$. Đường thẳng $(DE)$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại hai điểm $P$ và $Q$. Gọi $A'$, $B'$ lần lượt là điểm đối xứng của $A$ qua $(BC)$ và của $B$ qua $(AC)$. Chứng minh rằng $A'$, $B'$, $P$, $Q$ cùng thuộc một đường tròn.
Cho tam giác $ABC$ có đường tròn ngoại tiếp $\Gamma$, $D$ là một điểm trên $(AB)$ và $E$ là một điểm trên $(AC)$ sao cho $(DE)$ và $(BC)$ song song. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $BDE$ lần thứ hai tại $K$ và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $CDE$ lần thứ hai tại $L$. Gọi $T$ là giao điểm của $(BK)$ và $(CL)$. Chứng minh rằng $(TA)$ tiếp xúc với đường tròn $\Gamma$.
Cho tam giác $ABC$ không cân và $I$ là tâm đường tròn nội tiếp của nó. Cho $D$ là một điểm trên $[BC]$ (khác $B$ và $C$). Đường tròn ngoại tiếp tam giác $DIB$ cắt $(AB)$ lần thứ hai tại $E \neq B$, và đường tròn ngoại tiếp tam giác $DIC$ cắt $(AC)$ lần thứ hai tại $F \neq C$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $DEF$ cắt $(AB)$ và $(AC)$ lần thứ hai lần lượt tại $M$ và $N$. Các đường thẳng $(IB)$ và $(DE)$ cắt nhau tại $P$, các đường thẳng $(IC)$ và $(DF)$ cắt nhau tại $Q$. Chứng minh rằng các đường thẳng $(EN)$, $(FM)$ và $(PQ)$ song song.
Cho tam giác nhọn $ABC$ (có tất cả các góc đều nhọn) với $BA \neq BC$. Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của nó. Đường thẳng $(AB)$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $BOC$ lần thứ hai tại $P \neq B$. Chứng minh rằng $PA = PC$.
