Cho $\Gamma$ và $\omega$ là hai đường tròn cắt nhau tại các điểm $C$ và $D$. Tâm của đường tròn $\omega$ được kí hiệu là $P$, và $P$ nằm trên đường tròn $\Gamma$. Một đường thẳng đi qua điểm $D$ cắt đường tròn $\Gamma$ tại điểm $A$ và cắt đường tròn $\omega$ tại điểm $B$, với $D$ nằm giữa hai điểm $A$ và $B$. Đường thẳng $PB$ cắt đường tròn $\Gamma$ tại điểm $E$ (khác $P$). Chứng minh rằng $AE = AB$.
Cho $p$, $q$, $r$ là các số nguyên tố thỏa mãn $p \lt q \lt r$ và với mọi số nguyên dương $n$, có ít nhất hai trong ba số $p+n$, $q+n$, $r+n$ nguyên tố cùng nhau. Tìm tất cả các giá trị có thể của cặp $(p, q)$.
Cho $n$ là một số nguyên dương và giả sử $n = a_1 + a_2 + \cdots + a_m$ với $m \ge 2$ và $a_1 \gt a_2 \gt \cdots \gt a_m$ là các số nguyên dương phân biệt thỏa mãn
$$
\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_m} = 1.
$$
Chứng minh rằng bất đẳng thức $n + 2m + 1 \le a_1 a_2$ đúng và xác định điều kiện để đẳng thức xảy ra.
Cho $n$, $m$, $k$ là các số nguyên sao cho $\frac{mk+n}{n^2+1}$ và $\frac{nk+m}{m^2+1}$ là các số nguyên. Chứng minh rằng $k^2 - 1$ chia hết cho ước chung lớn nhất của $n^2+1$ và $m^2+1$.
Cho tứ giác $ABCD$ có $\angle DAB = \angle ABC$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ cắt đoạn thẳng $AD$ tại điểm $K$ và cắt đoạn thẳng $CD$ tại điểm $L$. Đoạn thẳng $AL$ cắt đoạn thẳng $CK$ tại điểm $P$. Nếu $\angle ADB = \angle PDC$, chứng minh rằng $CP = CL$.
Cho $X$ là một tập hợp hữu hạn các số nguyên dương sao cho không có hai tập con nào có cùng tổng. Chứng minh rằng tổng các nghịch đảo của các phần tử của $X$ thỏa mãn
$$
\sum_{x \in X} \frac{1}{x} \lt \frac{5}{2}.
$$
Ví dụ, với $X = \{1, 2, 5\}$ các tổng $1, 2, 5, 1+2, 1+5, 2+5, 1+2+5$ đều phân biệt và $1/1 + 1/2 + 1/5 = 1.7 \lt 2.5$.
Cho $p \ge 5$ là một số nguyên tố và $f(x) = (x-1)(x^3-1)\dots(x^{p-4}-1)(x^{p-2}-1)$. Chứng minh rằng $f(n^k) - f(n)$ chia hết cho $p$ với mọi số nguyên dương $k$ nguyên tố cùng nhau với $p-1$.
Chứng minh rằng mọi số nguyên dương $n$ đều có thể biểu diễn thành tổng của các số nguyên dương sao cho tổng các nghịch đảo của chúng nhỏ hơn hoặc bằng $4$. Chẳng hạn, vì $5 = 2 + 2 + 1$, ta có $1/2 + 1/2 + 1/1 = 2 \le 4$.
Chứng minh rằng tổng hoặc tích của $a, b, c$ bằng $1$ nếu $a, b, c$ là các số thực thỏa mãn
$$
(ab - c)(bc - a) + (bc - a)(ca - b) + (ca - b)(ab - c) = 4abc.
$$
Cho tam giác $ABC$ với các điểm $D$ và $E$ lấy trên cạnh $BC$ sao cho $D$ nằm giữa $B$ và $E$. Điểm $F$ nằm trên đoạn $AD$ và thỏa mãn điều kiện $\frac{AF}{FD} = \frac{BE}{EC}$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD$ cắt đoạn $AE$ tại điểm $G$ (khác $A$). Nếu các đường thẳng $EF$ và $GC$ song song, chứng minh rằng $GE = EC$.
Giả sử có $n$ học sinh đứng thành một hàng, và mỗi học sinh giơ ngẫu nhiên tay trái hoặc tay phải, nhưng không giơ cả hai. Gọi $P_n$ là xác suất để trong mọi nhóm ba học sinh đứng liền nhau, có ít nhất một học sinh giơ tay phải. Chứng minh rằng
$$
P_n \lt \left(\frac{12}{13}\right)^{n-2}.
$$
Một bể bơi được lắp bốn đường ống. Hai ống đầu tiên dùng để bơm nước vào bể, còn hai ống còn lại dùng để tháo nước ra khỏi bể. Nếu cả bốn ống cùng hoạt động thì bể đầy sau $2.5$ giờ. Khi chỉ dùng các ống $1$, $2$ và $3$ thì bể đầy sau $1.5$ giờ. Tương tự, khi chỉ các ống $1$, $3$ và $4$ hoạt động thì cần $15$ giờ để bể đầy. Hỏi nếu chỉ có các ống $1$ và $3$ hoạt động thì sau bao lâu bể đầy?
Có tồn tại hay không mười số nguyên dương sao cho không có số nào trong tập chia hết cho một số khác, và tích của hai số bất kì chia hết cho các số còn lại trong tập?
Bill muốn viết lên bảng một tập hợp các số nguyên dương đôi một phân biệt, sao cho mỗi số chia hết cho nhiều nhất một số khác trên bảng.
(1)
Chứng minh rằng Bill có thể viết 14 số lên bảng.
(2)
Chứng minh rằng Bill không thể viết 15 số lên bảng.
Chứng minh rằng khi gieo một con xúc xắc lệch (không cân đối) hai lần, xác suất để hai lần gieo được hai mặt cùng tính chẵn lẻ không nhỏ hơn xác suất để hai lần gieo được hai mặt khác tính chẵn lẻ.
Cho $\omega$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Gọi $P$ là một điểm trên cung $AB$ của $\omega$ không chứa $C$. Đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ có tâm $I$, và đường thẳng $AI$ cắt $\omega$ tại điểm $M$ khác $A$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $API$ cắt đoạn $AB$ tại điểm $E$ (khác $A$), và các đoạn $PM$ và $BC$ cắt nhau tại điểm $D$. Chứng minh rằng $BE = BD$.