MathNet 2024-part-02 — 168 bài (EN–VI)

Với số nguyên dương $n$, một $n$-cấu hình là một họ các tập hợp $\langle A_{i,j} \rangle_{1\le i,j\le n}$. Một $n$-cấu hình được gọi là *ngọt* nếu với mọi cặp chỉ số $(i, j)$ với $1 \le i \le n-1$ và $1 \le j \le n$ ta có $A_{i,j} \subseteq A_{i+1,j}$ và $A_{j,i} \subseteq A_{j,i+1}$. Gọi $f(n,k)$ là số các $n$-cấu hình ngọt sao cho $A_{n,n} \subseteq \{1, 2, \dots, k\}$. Hãy xác định số nào lớn hơn: $f(2024, 2024^2)$ hay $f(2024^2, 2024)$.

Cho tam giác $ABC$ và $D$ là một điểm trên cạnh $BC$. Các điểm $E, F$ lần lượt nằm trên các đường thẳng $AB, AC$, ở phía ngoài các đỉnh $B, C$, sao cho $BE = BD$ và $CF = CD$. Gọi $P$ là một điểm sao cho $D$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $PEF$. Chứng minh rằng $P$ nằm bên trong hoặc nằm trên đường tròn ngoại tiếp $Ω$ của tam giác $ABC$. (Josef Tkadlec, Cộng hòa Séc)

Cho tứ giác $ABCD$ sao cho $AB = BC = CD$. Các điểm $X, Y$ lần lượt nằm trên các tia $CA, BD$ sao cho $BX = CY$. Gọi $P, Q, R, S$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $BX, CY, XD, YA$. Chứng minh rằng các điểm $P, Q, R, S$ cùng nằm trên một đường tròn.

Cho $\alpha \neq 0$ là một số thực. Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sao cho
$$f(x^2 + y^2) = f(x - y)f(x + y) + \alpha y f(y)$$
với mọi $x, y \in \mathbb{R}$.

Tam giác nhọn $ABC$ với $AB \lt AC$ có đường tròn ngoại tiếp $\omega$. Gọi $D$, $E$, $F$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC$, $CA$, $AB$. Tia $AD$ cắt $\omega$ tại điểm $K$ ($K \neq A$) và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ tại điểm $M$ ($M \neq A$). Trên đường tròn $\omega$ chọn điểm $T$ sao cho $AT \parallel BC$. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $KDT$ và $AEF$ cắt nhau tại điểm $L$ nằm trên cung nhỏ $EF$. Chứng minh rằng đường tròn $\omega$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $KLM$ tiếp xúc với nhau.

Cho $n$ và $k$ là các số nguyên dương. Trên bảng viết $k$ số nguyên dương đôi một khác nhau không vượt quá $n$. Chứng minh rằng phương trình
$$
x + y = z + w
$$
có ít nhất $\frac{k^4}{2n-1}$ nghiệm $(x, y, z, w)$, trong đó $x, y, z, w$ là các số được viết trên bảng (không nhất thiết khác nhau).

Có bao nhiêu số nguyên $k$ thỏa mãn $1 \le k \le n$ và tổng $1 + 2 + \dots + k$ chia hết cho $n$, nếu

a) $n = 2023^{2024}$;
b) $n = 2024^{2023}$?

Dãy $(a_n)$ thỏa mãn $a_1 = 2$, $a_2 = 3$, $a_3 = 5$ và $a_n = a_{n-1}^2$ với mọi $n \ge 4$. Dãy $(b_n)$ thỏa mãn $b_1 = 2$, $b_2 = 3$, $b_3 = 5$ và $b_n = b_{n-1} \cdot b_{n-2} \cdot b_{n-3}^2$ với mọi $n \ge 4$. Dãy $(c_n)$ thỏa mãn $c_1 = 2$, $c_2 = 3$, $c_3 = 5$ và $c_n = c_1 \cdot c_2 \cdots c_{n-1}$ với mọi $n \ge 4$. Hãy sắp xếp các số $a_{1000}$, $b_{1000}$ và $c_{1000}$ theo thứ tự độ lớn.

Trên màn hình máy tính có số $\sqrt{2}$. Trong mỗi bước, Juku có thể nhân số đang có trên màn hình với một số hữu tỉ dương bất kì hoặc cộng thêm vào nó một số tự nhiên bất kì. Có tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho mọi số mà Juku có thể nhận được sau một số hữu hạn bước đều có thể nhận được sau nhiều nhất $n$ bước hay không? Nếu có, hãy tìm $n$ nhỏ nhất thỏa mãn.

Cố định một số tự nhiên $n$. Hàm $f : \{0, 1, \dots, n\} \to \{0, 1, \dots, n\}$ được gọi là *chính quy* nếu $f(0) = 0$ và $f(i) \in \{i-1, f(i-1), f(f(i-1)), \dots\}$ với mọi $i = 1, \dots, n$. Chẳng hạn, nếu $n = 3$ thì hàm $f(0) = f(1) = 0, f(2) = f(3) = 1$ là chính quy, nhưng hàm $f(0) = f(1) = f(2) = 0, f(3) = 1$ thì không (trong trường hợp sau, $f(3)$ vi phạm điều kiện chính quy). Juku chọn một hàm chính quy $f$ và cho Miku biết, với mỗi số $k = 0, 1, \dots, n$, có bao nhiêu đối số $i$ khác nhau sao cho $f(i) = k$. Liệu Miku có luôn xác định được, dựa trên thông tin này, hàm chính quy mà Juku đã chọn hay không?

Một lưới hình chữ nhật được chia bởi hai đường thẳng vuông góc thành bốn hình chữ nhật nhỏ hơn có các cạnh là số nguyên. Có thể bỏ đi một trong bốn hình chữ nhật này sao cho hình còn lại có thể được phủ kín chính xác bởi các hình chữ nhật kích thước $2 \times 3$ và $3 \times 2$. Chứng minh rằng có thể phủ kín chính xác một trong bốn hình chữ nhật nhỏ này bởi các hình chữ nhật kích thước $2 \times 3$ và $3 \times 2$. (*Phủ kín chính xác* nghĩa là phủ không có khe hở, không chồng lên nhau và không tràn ra ngoài.)

Trong một gói kẹo chưa mở có các viên kẹo màu đỏ, xanh lá và xanh dương, nặng lần lượt $2$ g, $5$ g và $25$ g. Số viên kẹo mỗi màu bằng nhau. Sau khi Mary ăn một số viên kẹo trong gói, các viên kẹo còn lại nặng tổng cộng đúng $787$ g. Tìm số viên kẹo nhỏ nhất mà Mary có thể đã ăn.

Ở Trường Khoa học Kükametsa, số học sinh trung học phổ thông tham gia cuộc thi "Kangaroo" năm nay nhiều hơn đúng một phần tư so với năm trước. Năm nay, số người tham gia của lớp 11 và lớp 12 lần lượt ít hơn 3 và 4 so với số người tham gia của lớp 10 và lớp 11 năm trước, nhưng số người tham gia của lớp 10 năm nay gấp đôi số người tham gia của lớp 12 năm trước. Năm trước, số người tham gia trung bình mỗi khối lớp ở Trường Khoa học Kükametsa lớn hơn 60 nhưng nhỏ hơn 65. Tìm tất cả các khả năng về số học sinh lớp 10 có thể đã tham gia cuộc thi "Kangaroo" năm nay.

Tất cả các số nguyên từ $1$ đến $12$ được viết lên các cạnh của một hình lập phương sao cho mỗi cạnh có đúng một số. Hai con kiến rô-bốt đứng tại cùng một đỉnh của hình lập phương và muốn đi đến đỉnh xa chúng nhất. Mỗi con kiến chọn một đường đi gồm đúng ba cạnh của hình lập phương. Chúng nhân các số trên đường đi của mình. Tích các số trên đường đi của con kiến thứ nhất chia hết cho $100$ nhưng không chia hết cho $200$. Tổng các chữ số của tích các số trên đường đi của con kiến thứ hai bằng $2$ và số $1$ không nằm trên đường đi của nó. Tìm tất cả các tích có thể mà mỗi con kiến nhận được.

a. Có tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho tám chữ số tận cùng của số $n^2 + 1$ giống với tám chữ số tận cùng của số $2n$, nhưng chữ số thứ chín tính từ cuối của hai số này khác nhau hay không?

b. Có tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho chín chữ số tận cùng của số $n^2 + 1$ giống với chín chữ số tận cùng của số $2n$, nhưng chữ số thứ mười tính từ cuối của hai số này khác nhau hay không?

Trên cạnh đáy $BC$ của tam giác cân $ABC$ lấy các điểm $D$ và $E$ sao cho $BD = EC = 7$ cm. Đường thẳng vuông góc với cạnh $AB$ và đi qua điểm $A$ cắt cạnh đáy $BC$ tại điểm $F$. $EG$ là một đường cao của tam giác $ACE$, $AH$ là một đường trung tuyến của tam giác $AEF$. Biết rằng $\angle DAF = \frac{1}{2}\angle BAC$. Tìm độ dài đoạn thẳng $GH$.

Juku và Miku chơi trò chơi sau trên một lưới kích thước $n \times m$: Ban đầu, mọi ô vuông đơn vị đều màu trắng. Mỗi người chơi, đến lượt mình, tô một ô vuông đơn vị màu trắng bằng màu đỏ hoặc màu xanh tùy ý, nhưng không có hai ô vuông đơn vị nào có chung cạnh hoặc chung đỉnh được tô cùng một màu. Hai người chơi lần lượt đi và Juku đi trước. Người chơi nào không thể thực hiện nước đi hợp lệ thì thua. Juku có thể thắng bất kể Miku chơi thế nào hay không, nếu:

a) $n = 2023$ và $m = 2023$;

b) $n = 2023$ và $m = 2024$;

c) $n = 2024$ và $m = 2024$?

Có tồn tại các số nguyên dương $x$ và $y$ sao cho
$$
11x^5 + 33y = 13y^5 + 31x + 2024?
$$

Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho tồn tại hai cặp số nguyên dương $(x, y)$ phân biệt thỏa mãn $(x^2 - 1)(y^2 - 1) = n$ và $x \le y$.

Cho tam giác nhọn $ABC$ với $AC \gt AB$. Đường trung trực của cạnh $BC$ cắt các đường thẳng $AC$ và $AB$ lần lượt tại các điểm $D$ và $E$. Đường tròn đường kính $DE$ cắt các đường thẳng $AC$ và $AB$ lần lượt tại các điểm $K$ và $L$ ($K \neq D, L \neq E$). Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Chứng minh rằng các điểm $K, L$ và $M$ thẳng hàng.