Câu hỏi 12
Cho $G$ là một nhóm hữu hạn của thứ tự $n$. Xác định bộ $$
H = \{x : x \in G \text{ và } x^2 = e\},
$$ trong đó $e$ là phần tử trung tính của $G$. Gọi $p = |H|$ là hồng y của $H$. Chứng minh rằng
a) $|H \cap xH| \geq 2p - n$, cho bất kỳ $x \in G$, trong đó $xH = \{xh : h \in H\}$.
b) Nếu $p \gt \frac{3n}{4}$, thì $G$ là giao hoán.
c) Nếu $\frac{n}{2} \lt p \leq \frac{3n}{4}$ thì $G$ là không giao hoán.
H = \{x : x \in G \text{ và } x^2 = e\},
$$ trong đó $e$ là phần tử trung tính của $G$. Gọi $p = |H|$ là hồng y của $H$. Chứng minh rằng
a) $|H \cap xH| \geq 2p - n$, cho bất kỳ $x \in G$, trong đó $xH = \{xh : h \in H\}$.
b) Nếu $p \gt \frac{3n}{4}$, thì $G$ là giao hoán.
c) Nếu $\frac{n}{2} \lt p \leq \frac{3n}{4}$ thì $G$ là không giao hoán.