MathNet 2014

Chứng minh tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho các chữ số cuối của $n^3$ là $\square201320132013$.

Cho tam giác $ABC$ có tâm nội tiếp $I$, và đường tròn $\omega$ tâm $I$. Các điểm $A',B',C'$ thuộc $\omega$ sao cho các tia $IA',IB',IC'$ xuất phát từ $I$ lần lượt cắt vuông góc các cạnh $BC,CA,AB$. Chứng minh $AA',BB',CC'$ đồng quy.

Cho số nguyên dương lẻ $n\gt3$ không chia hết cho $3$. Có thể lập bảng số $n\times n$ thỏa mãn các điều kiện sau không?

a. Các số trong mỗi hàng là một hoán vị của $0,1,\ldots,n-1$; các số trong mỗi cột cũng là một hoán vị của $0,1,\ldots,n-1$.

b. Bảng hoàn toàn không đối xứng: với $1\le i\lt j\le n$ và $1\le i'\lt j'\le n$, nếu $(i,j)\ne(i',j')$ thì $(a_{i,j},a_{j,i})\ne(a_{i',j'},a_{j',i'})$, trong đó $a_{i,j}$ là số ở hàng $i$, cột $j$.

Chứng minh có thể lập một bảng $n\times n$ gồm các số không âm (không nhất thiết phân biệt) sao cho tổng các số trên mỗi hàng và mỗi cột là các số chính phương đôi một khác nhau.

Hai đường tròn $\omega_1,\omega_2$ cắt nhau tại $P,Q$. Các đoạn $AC,BD$ lần lượt là dây của $\omega_1,\omega_2$, sao cho đoạn $AB$ và tia $CD$ gặp nhau tại $P$. Tia $BD$ và đoạn $AC$ gặp nhau tại $X$. Điểm $Y\in\omega_1$ thỏa mãn $PY\parallel BD$. Điểm $Z\in\omega_2$ thỏa mãn $PZ\parallel AC$. Chứng minh $Q,X,Y,Z$ thẳng hàng.

Cho tập $S$ gồm năm số thực dương sao cho với ba phần tử phân biệt $a,b,c$ bất kỳ trong $S$, số $ab+bc+ca$ là hữu tỉ. Chứng minh $a/b$ hữu tỉ với mọi $a,b\in S$.

Tìm mọi số nguyên dương $n$ sao cho $1-5^n+5^{2n+1}$ là số chính phương.

Cho tam giác $ABC$, gọi $D$ là trung điểm $BC$, $E$ là giao điểm phân giác góc $BAC$ với cạnh $BC$. Đường trung trực $AE$ cắt các phân giác góc $CBA,CDA$ lần lượt tại $M,N$. Hai phân giác góc $CBA,CDA$ cắt nhau tại $P$. Chứng minh $A,M,N,P$ đồng viên.

Gọi $\mathbb{R}$ là tập số thực. Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sao cho với mọi $x, y \in \mathbb{R}$,
$$
f(xf(y) + x) = xy + f(x).
$$

Cho tam giác $ABC$ có $\angle B \leq \angle C$, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp và $D$ là giao điểm của đường thẳng $AI$ với cạnh $BC$. Lấy các điểm $M$ và $N$ lần lượt trên các cạnh $BA$ và $CA$ sao cho $BM = BD$ và $CN = CD$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $CMN$ cắt lại đường thẳng $BC$ tại $P$. Chứng minh tứ giác $DIM P$ nội tiếp.

Cho $0 \lt a_1 \lt a_2 \lt \dots \lt a_n$ là các số thực. Chứng minh rằng

$$
\begin{aligned}
&(\frac{1}{1+a_1} + \frac{1}{1+a_2} + \dots + \frac{1}{1+a_n})^2 \le \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2-a_1} + \frac{1}{a_3-a_2} \\
&+ \dots + \frac{1}{a_n-a_{n-1}}.
\end{aligned}
$$

Có $2015$ đồng xu trên bàn. Lần lượt với $i=1,2, \ldots, 2015$, ở mỗi bước phải lật đúng $i$ đồng xu. Chứng minh luôn có thể làm cho tất cả đồng xu đều ngửa hoặc tất cả đều sấp, nhưng không thể đạt được cả hai trạng thái cuối này từ cùng một trạng thái ban đầu.

Hai đường tròn $\omega_{1}$ và $\omega_{2}$ có tâm lần lượt là $O_{1}$ và $O_{2}$, cắt nhau tại $A$ và $B$. Lấy các điểm $X$ và $Y$ trên $\omega_{1}$. Các đường thẳng $X A$ và $Y A$ cắt $\omega_{2}$ lần lượt tại $Z$ và $W$, sao cho $A$ nằm giữa $X$ và $Z$, đồng thời nằm giữa $Y$ và $W$. Gọi $M$ là trung điểm của $O_{1} O_{2}$, $S$ là trung điểm của $X A$ và $T$ là trung điểm của $W A$. Chứng minh $M S = M T$ khi và chỉ khi $X, Y, Z$ và $W$ cùng nằm trên một đường tròn.

Cho $p \geq 2$ là số nguyên tố và $\frac{a_{p}}{b_{p}} = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{p^{2}-1}$, trong đó $a_{p}$ và $b_{p}$ là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tính $\operatorname{gcd}\left(p, b_{p}\right)$.

Hai người chơi trò chơi sau. Họ luân phiên viết một số nguyên dương lớn hơn một, nhưng không được viết một tổ hợp tuyến tính của các số đã viết với các hệ số nguyên không âm. Người không thể viết số mới bị thua. Có người nào có chiến lược thắng không, và nếu có thì là người nào? (Aleksandar Ilić / “Kvant”)

Cho $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, $a_{4}$, $a_{5}$ là các số thực khác không. Chứng minh đa thức
$$
P(X) = \prod_{k=0}^{4} \left( a_{k+1} X^{4} + a_{k+2} X^{3} + a_{k+3} X^{2} + a_{k+4} X + a_{k+5} \right),
$$
trong đó $a_{5+i} = a_{i}$ với $i = 1, 2, 3, 4$, có một nghiệm với phần thực âm.

Một ước thực sự dương của một số là một ước dương khác chính số đó. Với mỗi số nguyên dương $n \geq 2$, gọi $f(n)$ là số lớn hơn ước thực sự lớn nhất của $n$ đúng một đơn vị. Tìm tất cả số nguyên dương $n$ sao cho $f(f(n))=2$.

Số hoàn hảo là một số nguyên bằng một nửa tổng các ước dương của nó. Chẳng hạn, vì $2 \cdot 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28$ nên $28$ là số hoàn hảo.

a. Một số nguyên không có ước chính phương lớn hơn 1 là số không chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm tất cả các số nguyên có tính chất này đồng thời là số hoàn hảo.

b. Chứng minh không có số chính phương nào là số hoàn hảo.

Cho $S=\{(a, b) \mid a, b=1,2,3,4$ và $a \neq b\}$. Xét tất cả các đa thức khác không $p(X, Y)$ có hệ số nguyên sao cho $p(a, b)=0$ với mọi phần tử $(a, b)$ thuộc $S$.
(a) Bậc nhỏ nhất có thể có của đa thức $p(X, Y)$ là bao nhiêu?
(b) Xác định tất cả các đa thức $p(X, Y)$ như vậy có bậc nhỏ nhất.

Có 2013 số
$$
\frac{1}{1 \times 2}, \frac{1}{2 \times 3}, \frac{1}{3 \times 4}, \ldots, \frac{1}{2013 \times 2014}
$$
được xếp tùy ý trên một đường tròn.

a. Chứng minh tồn tại mười số liên tiếp trên đường tròn có tổng nhỏ hơn $\frac{1}{4000}$.

b. Chứng minh tồn tại mười số liên tiếp trên đường tròn có tổng nhỏ hơn $\frac{1}{10000}$.