MathNet 2014

Cho tam giác $ABC$. Gọi $M$ là trung điểm đoạn $AB$, $T$ là trung điểm cung $BC$ không chứa $A$ của đường tròn ngoại tiếp $ABC$. Điểm $K$ nằm trong tam giác $ABC$ sao cho $MATK$ là hình thang cân với $AT\parallel MK$. Chứng minh $AK=KC$.

Gọi một tập hợp các hình vuông có cạnh song song với các trục tọa độ và các đỉnh có tọa độ nguyên là thân thiện nếu hai hình vuông bất kỳ trong tập có đúng hai điểm chung. Xét các tập thân thiện mà mọi hình vuông đều có cạnh dài $n$. Tìm số hình vuông lớn nhất có thể có trong một tập như vậy.

Cho một hình chữ nhật kích thước $m\times n$ gồm $mn$ ô vuông $1\times1$. Tính tổng diện tích của tất cả các hình chữ nhật con được tạo thành từ một số ô vuông trong $mn$ ô này.

Cho tam giác $ABC$ có đường tròn ngoại tiếp $\omega$. Các điểm $D,E,F$ nằm lần lượt trên các cạnh $BC,CA,AB$ sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác $DEF$ tiếp xúc với $\omega$ tại $A$. Gọi $G,H$ lần lượt là giao điểm thứ hai của các đường tròn ngoại tiếp tam giác $BDE,CDF$ với $\omega$ (khác $B,C$). Chứng minh các đường thẳng $GE,HF$ cắt nhau trên $AD$.

Cho các số thực $a_0,a_1,\dots,a_N$ thỏa mãn $a_0=a_N=0$ và
$$a_{i+1}-2a_i+a_{i-1}=a_i^2$$
với $i=1,2,\dots,N-1$. Chứng minh $a_i\le0$ với $i=1,2,\dots,N-1$.

Gọi $T(a)$ là tổng các chữ số của $a$. Với những $R\in\mathbb N$ nào tồn tại $n\in\mathbb N$ sao cho $\frac{T(n^2)}{T(n)}=R$?

Cho các số thực dương $a,b,c,d$ thỏa mãn
$$a^2+d^2-ad=b^2+c^2+bc\quad\text{và}\quad a^2+b^2=c^2+d^2.$$
Tìm mọi giá trị có thể của $\frac{ab+cd}{ad+bc}$.

Gọi $I$ là tâm nội tiếp tam giác $ABC$, và $H_a,H_b,H_c$ lần lượt là trực tâm các tam giác $BIC,CIA,AIB$. Đường thẳng $H_aH_b$ cắt $AB$ tại $X$, còn $H_aH_c$ cắt $AC$ tại $Y$. Nếu trung điểm $T$ của trung tuyến $AM$ của tam giác $ABC$ nằm trên $XY$, chứng minh $H_aT\perp BC$.

Cho dãy $a_n$ xác định bởi giá trị đầu $a_0$ và hệ thức
$$a_{n+1}=a_n+2\cdot3^n\quad(n\ge0).$$
Tìm tất cả các giá trị hữu tỉ $a_0$ sao cho $\dfrac{a_k^j}{a_j^k}$ là số nguyên với mọi số nguyên $0\lt j\lt k$.

Hai người chơi trên bàn cờ $N\times N$. Họ luân phiên đánh dấu một ô sao cho không bao giờ có một đường chéo nào chứa hai ô đã đánh dấu. Với những $N\gt 0$ nào người đi trước có chiến thuật thắng?

Dãy $a_0,a_1,\dots$ được xác định bởi $a_0=1$, $a_1=6$ và truy hồi $a_{n+1}=4a_n-a_{n-1}+2$ với $n\gt1$. Chứng minh $a_{2^k-1}$ có ít nhất ba ước nguyên tố với mọi số nguyên dương $k\gt3$.

Có $n$ ghế xếp thành một hàng; mỗi ghế được sơn đỏ hoặc xanh. Một cách sơn được gọi là lẻ nếu mỗi dãy đơn sắc đều có độ dài lẻ. Dãy đơn sắc là một dãy ghế cùng màu, hai đầu được giới hạn bởi ghế khác màu hoặc một bức tường. Có bao nhiêu cách sơn lẻ?

Cho $q$ là số hữu tỉ dương. Gọi số $x$ là *có sức hút* nếu tồn tại số nguyên dương $n$ và các số nguyên $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n$ sao cho
$$x=(q+1)^{\alpha_1}(q+2)^{\alpha_2}\cdots(q+n)^{\alpha_n}.$$
a) Chứng minh có thể chọn $q$ để mọi số hữu tỉ dương đều có sức hút.
b) Có đúng với mọi $q$ rằng nếu $x$ có sức hút thì $x+1$ cũng có sức hút không?

Cho $\Gamma$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn $ABC$. Đường vuông góc từ $C$ xuống $AB$ cắt $AB$ tại $D$ và cắt lại $\Gamma$ tại $E$. Đường phân giác góc $C$ cắt $AB$ tại $F$ và cắt lại $\Gamma$ tại $G$. Đường thẳng $GD$ cắt lại $\Gamma$ tại $H$, còn đường thẳng $HF$ cắt lại $\Gamma$ tại $I$. Chứng minh $AI=EB$.

Tìm tất cả các bộ bốn số thực $(a,b,c,d)$ thỏa mãn hệ
$$\begin{aligned}
ab+ac&=3b+3c\\
bc+bd&=5c+5d\\
ac+cd&=7a+7d\\
ad+bd&=9a+9b.
\end{aligned}$$

Có thể chia một đa giác lồi $2014$ cạnh bằng các đường chéo không cắt nhau thành các tam giác sao cho mỗi đỉnh thuộc một số lẻ tam giác hay không?

Albert và Betty chơi trò sau. Trên bàn có hai bát, một bát đỏ và một bát xanh. Ban đầu bát đỏ chứa $100$ viên bi xanh và bát xanh chứa $100$ viên bi đỏ. Mỗi lượt, người chơi phải thực hiện một trong các nước:
a) Lấy hai viên bi khác màu từ cùng một bát và bỏ đi.
b) Lấy hai viên bi đỏ từ bát xanh chuyển sang bát đỏ.
c) Lấy hai viên bi xanh từ bát đỏ chuyển sang bát xanh.
Hai người luân phiên chơi, Albert đi trước. Người đầu tiên lấy viên bi đỏ cuối cùng ra khỏi bát xanh hoặc viên bi xanh cuối cùng ra khỏi bát đỏ thắng. Xác định người có chiến thuật thắng.

Cho tam giác $A_0B_0C_0$ có diện tích $\sqrt2$. Xét các tâm bàng tiếp $A_1,B_1,C_1$ của nó, rồi xét các tâm bàng tiếp $A_2,B_2,C_2$ của tam giác $A_1B_1C_1$. Tiếp tục như vậy, hãy xét xem có thể thu được một tam giác $A_nB_nC_n$ có tất cả tọa độ hữu tỉ hay không.

Hình minh họa bổ sung do AI tạo:

Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho parabol $y=x^2$. Tam giác $ABC$ nội tiếp parabol, cạnh $AB$ song song với trục $Ox$, còn $C$ nằm giữa đường thẳng $AB$ và trục $Ox$. Biết cạnh $AB$ ngắn hơn đường cao $CH$ của tam giác $ABC$ đúng $1$ đơn vị.
Tìm góc $ACB$.

(a) Những tam giác nào có độ dài các cạnh $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2\gt c^2$, $b^2+c^2\gt a^2$ và $a^2+c^2\gt b^2$ (cùng với các bất đẳng thức tam giác thông thường $a+b\gt c$, $b+c\gt a$, $c+a\gt b$)?

(b) Những tam giác nào có độ dài các cạnh $a,b,c$ thỏa mãn $a^n+b^n\gt c^n$, $b^n+c^n\gt a^n$ và $a^n+c^n\gt b^n$ với mọi số nguyên dương $n$ (cùng với các bất đẳng thức tam giác thông thường $a+b\gt c$, $b+c\gt a$, $c+a\gt b$)?