MathNet 2013

Tìm mọi bộ ba số nguyên dương $(x,y,z)$ sao cho $x\le y\le z$ và
$$x^3(y^3+z^3)=2012(xyz+2).$$

Gọi $\mathbb Z^+$ là tập các số nguyên dương. Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb Z^+\to\mathbb Z^+$ sao cho với mọi số nguyên dương $m,n$,
$$m^2+f(n)\mid mf(m)+n.$$

Với mỗi số nguyên dương $n$, định nghĩa $f(n)$ là tổng bình phương các chữ số của $n$ (trong hệ thập phân). Ví dụ $f(2012)=2^2+0^2+1^2+2^2=9$. Tìm số nguyên lớn nhất $n$ sao cho tồn tại số nguyên dương $d$ với $f(\underbrace{f(\cdots f(n)\cdots)}_{d\text{ lần}})=n$.

Cho tam giác nhọn $ABC$. Đường tròn $\omega_1$ đường kính $AC$ cắt cạnh $BC$ tại $F\ne C$. Đường tròn $\omega_2$ đường kính $BC$ cắt cạnh $AC$ tại $E\ne C$. Tia $AF$ cắt $\omega_2$ tại $K,M$ với $AK\lt AM$. Tia $BE$ cắt $\omega_1$ tại $L,N$ với $BL\lt BN$. Chứng minh $AB,ML,NK$ đồng quy.
(Bài toán do Steve Dinh đề xuất.)

Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $n$ sao cho tồn tại các số nguyên dương $a,b,c$, không số nào là số chính phương, thỏa mãn
$$a^3+b^3+c^3-3abc=2013^n.$$

Chứng minh rằng
$$\sum_{n=0}^{2013}\frac{4026!}{(n!(2013-n)!)^2}$$
là bình phương của một số nguyên.

Một công ty Saudi có hai văn phòng, một ở Riyadh và một ở Jeddah. Để bảo đảm liên lạc, công ty chọn ở mỗi văn phòng một số nhân viên liên lạc sao cho:
(a) Mỗi cặp nhân viên liên lạc cùng văn phòng có đúng một nhân viên liên lạc chung ở văn phòng kia.
(b) Có ít nhất 10 nhân viên liên lạc ở Riyadh.
(c) Zayd, một nhân viên liên lạc ở Jeddah, liên hệ với đúng 8 nhân viên liên lạc ở Riyadh.
Số nhân viên liên lạc ở Jeddah có liên hệ với Amr ở Riyadh ít nhất là bao nhiêu?

Adel vẽ một lưới điểm $m\times n$ trên mặt phẳng tọa độ, gồm các điểm tọa độ nguyên $(a,b)$ với $1\le a\le m,1\le b\le n$. Bạn ấy vẽ một đường đi kín qua $k$ điểm $(a_1,b_1),(a_2,b_2),\ldots,(a_k,b_k)$ sao cho $(a_i,b_i)$ và $(a_{i+1},b_{i+1})$ cách nhau một đơn vị với mọi $1\le i\le k$, trong đó $(a_{k+1},b_{k+1})=(a_1,b_1)$. Adel bảo đảm đường đi không tự cắt, tức $k$ điểm là phân biệt. Hãy tìm và chứng minh giá trị lớn nhất có thể của $k$ theo $m,n$.

Trong tứ giác lồi $ABCD$, gọi $E$ là giao hai đường chéo. Biết $\angle EDC=\angle DEC=\angle BAD$. Nếu $F$ thuộc đoạn $[BC]$ và $\angle BAF+\angle EBF=\angle BFE$, chứng minh $A,B,F,D$ đồng viên.

Cho các số nguyên a,n. Đặt $a_n=1+a+a^2+\cdots+a^{n-1}$. Chứng minh rằng nếu $a^p\equiv1\pmod p$ với mỗi ước nguyên tố p của n₂−n₁ thì $(a_{n_2}-a_{n_1})/(n_2-n_1)$ là số nguyên.

Với số nguyên dương $n$, đa thức bậc ba $p(x)$ được gọi là $n$-tốt nếu tồn tại $n$ số nguyên phân biệt $a_1,a_2,\dots,a_n$ sao cho mọi nghiệm của $p(x)+a_i=0$ đều nguyên với $1\le i\le n$. Cho số nguyên dương $n$, chứng minh tồn tại một đa thức bậc ba $n$-tốt.

Các số tự nhiên $m,n$ thỏa $n\gt m\ge1$. Gọi $S$ là tập mọi cặp số tự nhiên $(x,y)$ với $1\le x,y\le n$. Xác định số tự nhiên nhỏ nhất $k$ sao cho mỗi tập con $P\subseteq S$ có $k$ phần tử đều chứa $m+1$ cặp $(x_1,y_1),\dots,(x_{m+1},y_{m+1})$ mà các số $x_1,\dots,x_{m+1}$ đôi một khác nhau và các số $y_1,\dots,y_{m+1}$ đôi một khác nhau.

Một câu lạc bộ có $2k+1$ thành viên, mỗi người đều thông thạo cùng $k$ ngôn ngữ. Mỗi cặp thành viên luôn chỉ dùng một ngôn ngữ để trò chuyện với nhau. Giả sử không có ba thành viên chỉ dùng một ngôn ngữ giữa họ. Gọi $A$ là số tập con ba thành viên mà ba cặp khác nhau giữa họ sử dụng ba ngôn ngữ khác nhau. Tìm giá trị lớn nhất có thể của $A$.

Cho tam giác nhọn ABC, M là trung điểm BC và P thuộc đoạn AM. Các đường BP,CP lần lượt cắt lại đường tròn ngoại tiếp ABC tại X,Y và cắt các cạnh AC,AB tại D,E. Chứng minh hai đường tròn ngoại tiếp AXD,AYE có điểm chung T≠A trên đường AM.

Cho các số tự nhiên $n,m$. Muốn tô mỗi ô của bảng $n\times m$ bằng màu trắng hoặc đen. Với những $n,m$ nào có thể tô sao cho mỗi ô có số lẻ ô láng giềng cùng màu? Hai ô được gọi là láng giềng nếu có chung một cạnh.

Ký hiệu tập các số nguyên khác 0 và tập các số nguyên không âm lần lượt là $\mathbb Z^*$, $\mathbb N_0$. Tìm mọi hàm $f:\mathbb Z^*\to\mathbb N_0$ thỏa:
(1) Với mọi a,b∈ℤ* mà a+b∈ℤ*, $f(a+b)\ge\min\{f(a),f(b)\}$.
(2) Với mọi a,b∈ℤ*, $f(ab)=f(a)+f(b)$.

Cho $m,n$ là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau và khác tính chẵn lẻ. Chứng minh hai số $2^{2m}+2^{m+1}+1$ và $2^{2n}+2^{n+1}+1$ cũng nguyên tố cùng nhau.

Tìm tất cả các bộ ba $(x,n,p)$ với x,n nguyên dương và p nguyên tố sao cho $x^3+3x+14=2p^n$.

Trong một tam giác nhọn, chân các đường cao kẻ từ $A,B$ lần lượt là $D,E$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $AB$. Đường thẳng $CM$ cắt lại đường tròn ngoại tiếp $CDE$ tại $P$ và cắt lại đường tròn ngoại tiếp $CAB$ tại $Q$. Chứng minh
$$|MP|=|MQ|.$$

Cho tam giác nhọn $ABC$. Các điểm $A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2$ nằm trên các cạnh sao cho
$$\overline{AA_1}=\overline{A_1A_2}=\overline{A_2B}=\tfrac13\overline{AB},$$
$$\overline{BB_1}=\overline{B_1B_2}=\overline{B_2C}=\tfrac13\overline{BC},$$
$$\overline{CC_1}=\overline{C_1C_2}=\overline{C_2A}=\tfrac13\overline{CA}.$$
Gọi $k_A,k_B,k_C$ lần lượt là các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AA_1C_2,BB_1A_2,CC_1B_2$; $a_B,a_C$ là các tiếp tuyến của $k_A$ tại $A_1,C_2$; $b_C,b_A$ là các tiếp tuyến của $k_B$ tại $B_1,A_2$; và $c_A,c_B$ là các tiếp tuyến của $k_C$ tại $C_1,B_2$. Chứng minh rằng đường vuông góc với $AB$ qua giao điểm $a_B,b_A$, đường vuông góc với $BC$ qua giao điểm $b_C,c_B$, và đường vuông góc với $CA$ qua giao điểm $c_A,a_C$ đồng quy.