Câu hỏi 20
Cho tam giác nhọn $ABC$. Các điểm $A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2$ nằm trên các cạnh sao cho
$$\overline{AA_1}=\overline{A_1A_2}=\overline{A_2B}=\tfrac13\overline{AB},$$
$$\overline{BB_1}=\overline{B_1B_2}=\overline{B_2C}=\tfrac13\overline{BC},$$
$$\overline{CC_1}=\overline{C_1C_2}=\overline{C_2A}=\tfrac13\overline{CA}.$$
Gọi $k_A,k_B,k_C$ lần lượt là các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AA_1C_2,BB_1A_2,CC_1B_2$; $a_B,a_C$ là các tiếp tuyến của $k_A$ tại $A_1,C_2$; $b_C,b_A$ là các tiếp tuyến của $k_B$ tại $B_1,A_2$; và $c_A,c_B$ là các tiếp tuyến của $k_C$ tại $C_1,B_2$. Chứng minh rằng đường vuông góc với $AB$ qua giao điểm $a_B,b_A$, đường vuông góc với $BC$ qua giao điểm $b_C,c_B$, và đường vuông góc với $CA$ qua giao điểm $c_A,a_C$ đồng quy.
$$\overline{AA_1}=\overline{A_1A_2}=\overline{A_2B}=\tfrac13\overline{AB},$$
$$\overline{BB_1}=\overline{B_1B_2}=\overline{B_2C}=\tfrac13\overline{BC},$$
$$\overline{CC_1}=\overline{C_1C_2}=\overline{C_2A}=\tfrac13\overline{CA}.$$
Gọi $k_A,k_B,k_C$ lần lượt là các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AA_1C_2,BB_1A_2,CC_1B_2$; $a_B,a_C$ là các tiếp tuyến của $k_A$ tại $A_1,C_2$; $b_C,b_A$ là các tiếp tuyến của $k_B$ tại $B_1,A_2$; và $c_A,c_B$ là các tiếp tuyến của $k_C$ tại $C_1,B_2$. Chứng minh rằng đường vuông góc với $AB$ qua giao điểm $a_B,b_A$, đường vuông góc với $BC$ qua giao điểm $b_C,c_B$, và đường vuông góc với $CA$ qua giao điểm $c_A,a_C$ đồng quy.