MathNet 2017-part-05 — 176 bài (EN–VI)

Cho $a_1, a_2, \dots, a_{2017}$ là các số nguyên dương. Chứng minh rằng phân số
$$
\frac{9^{2017} - 7 \cdot 3^{2017} + 7}{9^{(a_1+a_2)(a_2+a_3)\dots(a_{2016}+a_{2017})(a_{2017}+a_1)} - 1}
$$
rút gọn được (không phải phân số tối giản).

Xét tập $A$ gồm các số nguyên dương có 3 chữ số $abc$ được tạo bởi ba chữ số liên tiếp (không nhất thiết theo thứ tự).

a) Xác định số phần tử của tập $A$.

b) Chứng minh rằng với mọi cách chọn một số phần tử của tập $A$, tổng các phần tử được chọn không thể bằng 2017.

a) So sánh hai số $2^{53}$ và $3^{35}$.

b) Chứng minh rằng nếu $5b \ge 3a \gt 0$ thì $2^{\overline{ab}} \lt 3^{\overline{ba}}$.

a) Chứng minh rằng trong một tam giác vuông có một góc $30^\circ$, cạnh góc vuông đối diện với góc $30^\circ$ có độ dài bằng một nửa cạnh huyền.

b) Bên trong tam giác $ABC$ với $m(\angle A) = 100^\circ$ và $m(\angle B) = 20^\circ$, xét điểm $D$ sao cho $m(\angle DAB) = 30^\circ$ và $m(\angle DBA) = 10^\circ$. Tính $m(\angle ACD)$.

Cho $E(x, y) = \frac{x}{y} + \frac{x+1}{y+1} + \frac{x+2}{y+2}$.

a) Giải phương trình $E(x, y) = 3$ trên tập số nguyên dương.

b) Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương $n$ sao cho phương trình $E(x, y) = n$ có nghiệm nguyên dương.

Trên cạnh $[CD]$ của hình vuông $ABCD$ lấy điểm $E$ sao cho $m(\angle ABE) = 60^{\circ}$. Trên tia $(BA$ lấy điểm $F$ sao cho $[BE] = [BF]$. Gọi $M$ là giao điểm của các đường thẳng $EF$ và $AD$.

a) Chứng minh rằng $m(\angle BME) = 75^{\circ}$.

b) Đường phân giác của góc $CBE$ cắt $CD$ tại $N$. Chứng minh rằng tam giác $BMN$ đều.

Trong tam giác $ABC$ có $m(\angle A) \lt m(\angle C)$. Gọi $E$ là một điểm trên đường phân giác của góc $B$ sao cho $\angle EAB = \angle ACB$. Gọi $D$ là một điểm trên đường thẳng $BC$ sao cho $B \in (CD)$ và $[BD] = [AB]$. Chứng minh rằng trung điểm $M$ của đoạn thẳng $[AC]$ thuộc đường thẳng $DE$.

Bogdan Antohe

a) Cho $m, n, p \in \mathbb{N}$ với $m \gt n$ sao cho $\sqrt{m} - \sqrt{n} = p$. Chứng minh rằng $m$ và $n$ đều là số chính phương.

b) Tìm, có chứng minh, tất cả các số $\overline{abcd}$ sao cho $\sqrt{\overline{abcd}} - \sqrt{\overline{acd}} = \overline{bb}$.

Cho hình lập phương $ABCDA'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$. Gọi $M$ và $P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $[AB]$ và $[DD']$.
a) Chứng minh rằng $MP \perp A'C$.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $MP$ và $A'C$.

Cho hình lập phương $ABCD A'B'C'D'$ có cạnh bằng $1$. Một con kiến bò trên các mặt của hình lập phương, xuất phát từ $A$ và kết thúc tại $C'$. Con kiến chỉ di chuyển trên các cạnh của hình lập phương hoặc trên các đường chéo của các mặt. Biết rằng con kiến không bao giờ đi qua cùng một điểm hai lần, hãy tìm độ dài lớn nhất của một đường đi như vậy.

Gọi $A_1$, $B_1$ và $C_1$ là chân các đường cao của tam giác nhọn $ABC$. Trên các đoạn thẳng $B_1C_1$, $C_1A_1$, $A_1B_1$ lần lượt lấy các điểm $X$, $Y$ và $Z$ sao cho
$$
\frac{C_1X}{XB_1} = \frac{b \cos C}{c \cos B}, \quad \frac{A_1Y}{YC_1} = \frac{c \cos A}{a \cos C} \quad \text{và} \quad \frac{B_1Z}{ZA_1} = \frac{a \cos B}{b \cos A}.
$$
Chứng minh rằng các đường thẳng $AX$, $BY$ và $CZ$ đồng quy.

Trong tam giác $ABC$, gọi $O$ và $I$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp. Các đường trung trực của các đoạn thẳng $IA$, $IB$ và $IC$ cắt nhau từng đôi một, tạo thành tam giác $A_1B_1C_1$. Chứng minh rằng
$$
\vec{OI} = \vec{OA_1} + \vec{OB_1} + \vec{OC_1}.
$$

Cho $(a_n)_{n \ge 1}$ là một cấp số cộng gồm các số nguyên dương và đặt $S_n = a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2$, $n \in \mathbb{N}^*$. Chứng minh rằng:

a) nếu $p \ge 5$ là số nguyên tố thì $p$ chia hết $S_p$;

b) $S_5$ không là số chính phương.

a) Tìm $x \in \mathbb{N}$ và $y \in \mathbb{Q}$ sao cho $\sqrt{x + \sqrt{x}} = y$.

b) Chứng minh rằng có thể tìm được vô số cặp $(x, y) \in \mathbb{Q}^2$ sao cho
$$
\sqrt{x + \sqrt{x}} = y.
$$

Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x, y)$ sao cho
$$
2^x + \log_3 x = y^2 \text{ và } 2^y + \log_3 y = x^2.
$$

Cho số thực $a \gt 0$. Chứng minh bất đẳng thức
$$
a^{\sin x} \cdot (a+1)^{\cos x} \ge a, \quad \forall x \in [0, \frac{\pi}{2}].
$$

Cho $A = \{z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1\}$.

a) Chứng minh rằng $(|z+1| - \sqrt{2})(|z-1| - \sqrt{2}) \le 0$ với mọi $z \in A$.

b) Chứng minh rằng với mọi $z_1, z_2, \dots, z_{12} \in A$, có thể chọn các dấu "\pm" sao cho
$$
\sum_{k=1}^{12} |z_k \pm 1| \lt 17.
$$

Cho dãy số thực $(a_n)_{n \ge 1}$ thỏa mãn $a_1 \gt 2$ và $a_{n+1} = 1 + \frac{2}{a_n}$ với $n \ge 1$.

a) Chứng minh rằng $a_{2n-1} + a_{2n} \gt 4$ với mọi $n \ge 1$ và $\lim_{n \to \infty} a_n = 2$.

b) Tìm số thực $a$ lớn nhất sao cho bất đẳng thức
$$
\sqrt{x^2 + a_1^2} + \sqrt{x^2 + a_2^2} + \sqrt{x^2 + a_3^2} + \dots + \sqrt{x^2 + a_n^2} \gt n\sqrt{x^2 + a^2}
$$
đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$ và mọi $n \in \mathbb{N}^*$.

a) Chứng minh rằng tồn tại các hàm số $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ và $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sao cho $f \circ g = g \circ f$, $f \circ f = g \circ g$ và $f(x) \ne g(x)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

b) Chứng minh rằng nếu $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ và $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ liên tục và có các tính chất $f \circ g = g \circ f$ và $f(x) \ne g(x)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, thì $(f \circ f)(x) \ne (g \circ g)(x)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Xét hai ma trận không giao hoán $A, B \in M_2(\mathbb{R})$.

a) Nếu $A^3 = B^3$ thì $A^n$ và $B^n$ có cùng vết với mọi số nguyên dương $n$.

b) Chứng minh rằng tồn tại các ma trận không giao hoán $A, B \in M_2(\mathbb{R})$ sao cho với mọi số nguyên dương $n$, $A^n$ và $B^n$ khác nhau.