Câu hỏi 18
Cho dãy số thực $(a_n)_{n \ge 1}$ thỏa mãn $a_1 \gt 2$ và $a_{n+1} = 1 + \frac{2}{a_n}$ với $n \ge 1$.
a) Chứng minh rằng $a_{2n-1} + a_{2n} \gt 4$ với mọi $n \ge 1$ và $\lim_{n \to \infty} a_n = 2$.
b) Tìm số thực $a$ lớn nhất sao cho bất đẳng thức
$$
\sqrt{x^2 + a_1^2} + \sqrt{x^2 + a_2^2} + \sqrt{x^2 + a_3^2} + \dots + \sqrt{x^2 + a_n^2} \gt n\sqrt{x^2 + a^2}
$$
đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$ và mọi $n \in \mathbb{N}^*$.
a) Chứng minh rằng $a_{2n-1} + a_{2n} \gt 4$ với mọi $n \ge 1$ và $\lim_{n \to \infty} a_n = 2$.
b) Tìm số thực $a$ lớn nhất sao cho bất đẳng thức
$$
\sqrt{x^2 + a_1^2} + \sqrt{x^2 + a_2^2} + \sqrt{x^2 + a_3^2} + \dots + \sqrt{x^2 + a_n^2} \gt n\sqrt{x^2 + a^2}
$$
đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$ và mọi $n \in \mathbb{N}^*$.