Tìm tất cả các cặp $(f, g)$ gồm các hàm số $f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sao cho với mọi $x, y \in \mathbb{R}$
- $f(x) \geq 0$,
- $f(x+g(y))=f(x)+f(y)+2 y g(x)-f(y-g(y))$.
David và Linus chơi trò chơi sau: David chọn một tập con $Q$ của tập $\{1, \ldots, 2018\}$. Sau đó Linus chọn một số tự nhiên $a_{1}$ và tính các số $a_{2}, \ldots, a_{2018}$ theo công thức truy hồi, trong đó $a_{n+1}$ là tích các ước dương của $a_{n}$.
Gọi $P$ là tập các số tự nhiên $k \in\{1, \ldots, 2018\}$ sao cho $a_{k}$ là số chính phương. Linus thắng nếu $P=Q$. Ngược lại David thắng. Ai có chiến lược thắng?
Ban đầu tất cả các ô của một hình vuông $8 \times 8$ đều được tô màu trắng. Mỗi bước, ta được phép đổi màu tất cả các ô của một hình chữ nhật $1 \times 3$ nằm ngang hoặc thẳng đứng (mọi ô trắng thành đen và mọi ô đen thành trắng). Có thể sau một số hữu hạn bước, tất cả các ô đều có màu đen không?
Cho $a$, $b$ và $c$ là các số tự nhiên. Tìm giá trị nhỏ nhất mà biểu thức sau có thể nhận:
$$
\frac{a}{\operatorname{gcd}(a+b, a-c)}+\frac{b}{\operatorname{gcd}(b+c, b-a)}+\frac{c}{\operatorname{gcd}(c+a, c-b)}
$$
Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho không tồn tại bộ ba số tự nhiên $(a, b, c)$ nào thỏa mãn đẳng thức sau:
$$
n=\frac{a \cdot \operatorname{lcm}(b, c)+b \cdot \operatorname{lcm}(c, a)+c \cdot \operatorname{lcm}(a, b)}{\operatorname{lcm}(a, b, c)}
$$
Cho $D$ là một điểm nằm trong tam giác nhọn $A B C$ sao cho $\angle B A D = \angle D B C$ và $\angle D A C = \angle B C D$. Gọi $P$ là một điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $A D B$. Giả sử $P$ nằm ngoài tam giác $A B C$. Một đường thẳng qua $P$ cắt tia $B A$ tại $X$ và tia $C A$ tại $Y$ sao cho $\angle X P B = \angle P D B$. Chứng minh rằng $B Y$ và $C X$ cắt nhau tại một điểm nằm trên $A D$.
Chứng minh rằng không tồn tại hàm số $f: \mathbb{R}_{\gt 0} \rightarrow \mathbb{R}_{\gt 0}$ sao cho với mọi $x, y \in \mathbb{R}_{\gt 0}$:
$$
f(x f(x)+y f(y))=x y
$$
Cho $k$ là đường tròn nội tiếp tam giác $A B C$ với tâm $I$. Đường tròn $k$ tiếp xúc với các cạnh $B C$, $C A$ và $A B$ lần lượt tại các điểm $D$, $E$ và $F$. Gọi $G$ là giao điểm của đường thẳng $A I$ với đường tròn $k$ nằm giữa $A$ và $I$. Giả sử $B E$ và $F G$ song song. Chứng minh rằng $B D=E F$.
Cho $n$ là một số tự nhiên. Gọi $k$ là số cách biểu diễn $n$ thành tổng của một hoặc nhiều số tự nhiên liên tiếp. Chứng minh rằng $k$ bằng số ước dương lẻ của $n$.
Cho $a$, $b$, $c$, $d$ và $e$ là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất mà biểu thức sau có thể nhận:
$$
\frac{a b+b c+c d+d e}{2 a^{2}+b^{2}+2 c^{2}+d^{2}+2 e^{2}}
$$
Cho $n$ là một số tự nhiên và $G$ là tập các điểm $(x, y)$ trong mặt phẳng sao cho $x$ và $y$ là các số nguyên với $1 \leq x, y \leq n$. Một tập con của $G$ được gọi là không chứa hình bình hành nếu nó không chứa bốn điểm không thẳng hàng là bốn đỉnh của một hình bình hành. Một tập con không chứa hình bình hành của $G$ có thể có nhiều nhất bao nhiêu phần tử?
Cho $p \geq 2$ là một số nguyên tố. Louis và Arnaud lần lượt chọn một chỉ số $i \in \{0,1, \ldots, p-1\}$ chưa được chọn trước đó, cùng với một chữ số $a_{i} \in \{0,1, \ldots, 9\}$. Louis đi trước. Khi tất cả các chỉ số đã được chọn, họ tính tổng sau:
$$
a_{0}+a_{1} \cdot 10+\ldots+a_{p-1} \cdot 10^{p-1}=\sum_{i=0}^{p-1} a_{i} \cdot 10^{i}
$$
Nếu tổng này chia hết cho $p$ thì Louis thắng, ngược lại Arnaud thắng. Chứng minh rằng Louis có chiến lược thắng.
Cho tam giác $ABC$ và đặt $\gamma = \angle ACB$ sao cho $\gamma / 2 \lt \angle BAC$ và $\gamma / 2 \lt \angle CBA$. Gọi $D$ là điểm trên đoạn $BC$ sao cho $\angle BAD = \gamma / 2$. Gọi $E$ là điểm trên đoạn $CA$ sao cho $\angle EBA = \gamma / 2$. Ngoài ra, gọi $F$ là giao điểm của đường phân giác góc $\angle ACB$ với đoạn $AB$. Chứng minh rằng $EF + FD = AB$.
Đất nước SMO có $1111$ cư dân. Mười một cầu thủ của đội tuyển quốc gia Liechtenstein phát chữ ký cho tất cả cư dân, trong đó không cư dân nào nhận cùng một chữ ký hai lần (tức là mỗi cư dân nhận từ mỗi cầu thủ hoặc không có chữ ký nào, hoặc đúng một chữ ký).
a. Có bao nhiêu khả năng về việc một cư dân có thể nhận được những chữ ký nào?
b. Sau khi phát xong, các cư dân nhận thấy không có hai người nào nhận chữ ký từ đúng cùng một nhóm cầu thủ. Chứng minh rằng có hai cư dân mà gộp lại họ có đúng một chữ ký của mỗi cầu thủ.
Cho $n \geq 2$ là một số tự nhiên. Gọi $d_{1}, \ldots, d_{r}$ là tất cả các ước dương phân biệt của $n$ nhỏ hơn chính $n$. Tìm tất cả các số $n$ sao cho:
$$
\operatorname{lcm}\left(d_{1}, \ldots, d_{r}\right) \neq n
$$
Cho $m$ và $n$ là các số tự nhiên và $p$ là số nguyên tố sao cho $m \lt n \lt p$. Hơn nữa:
$$
p \mid m^{2} + 1 \quad \text{ và } \quad p \mid n^{2} + 1
$$
Chứng minh rằng:
$$
p \mid m n - 1
$$
Trong mặt phẳng cho tam giác $\triangle ABC$ và một điểm $O$; $\Gamma$ là đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABC$. Đường thẳng $CO$ cắt đường thẳng $AB$ tại điểm $D$, đường thẳng $BO$ cắt đường thẳng $CA$ tại điểm $E$. Đường thẳng $AO$ cắt $\Gamma$ lần thứ hai tại điểm $F$. Gọi $I$ là giao điểm thứ hai của $\Gamma$ với đường tròn ngoại tiếp $\triangle ADE$, $Y$ là giao điểm thứ hai của đường thẳng $BE$ với đường tròn ngoại tiếp $\triangle CEI$, và $Z$ là giao điểm thứ hai của đường thẳng $CD$ với đường tròn ngoại tiếp $\triangle BDI$. Hai tiếp tuyến của $\Gamma$ tại $B$ và $C$ cắt nhau tại điểm $T$. Đường thẳng $TF$ cắt $\Gamma$ lần thứ hai tại điểm $U$, và gọi $G$ là điểm đối xứng của $U$ qua đường thẳng $BC$.
Chứng minh rằng sáu điểm $F, I, G, O, Y, Z$ cùng nằm trên một đường tròn.
Cho các số nguyên dương $a_1, a_2, \dots, a_n$ ($a_1 \lt a_2 \lt \dots \lt a_n$), và $k$ là số thực dương với $k \ge 1$.
Chứng minh rằng:
$$
\sum_{i=1}^{n} a_i^{2k+1} \ge \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^k \right)^2 .
$$
Cho $A$, $B$, $C$ lần lượt là trung điểm các cạnh $B'C'$, $C'A'$, $A'B'$ của $\triangle A'B'C'$. Điểm $P$ nằm trong $\triangle ABC$, và $AP$, $BP$, $CP$ lần lượt cắt $BC$, $CA$, $AB$ tại các điểm $P_a$, $P_b$, $P_c$.
Các đường thẳng $P_aP_b$, $P_aP_c$ lần lượt cắt $B'C'$ tại $R_b$, $R_c$; các đường thẳng $P_bP_c$, $P_bP_a$ lần lượt cắt $C'A'$ tại $S_c$, $S_a$; các đường thẳng $P_cP_a$, $P_cP_b$ lần lượt cắt $A'B'$ tại $T_a$, $T_b$. Biết rằng $S_c$, $S_a$, $T_a$, $T_b$ cùng nằm trên một đường tròn tâm $O$.
Chứng minh rằng $OR_b = OR_c$.