Câu hỏi 12
Cho $p \geq 2$ là một số nguyên tố. Louis và Arnaud lần lượt chọn một chỉ số $i \in \{0,1, \ldots, p-1\}$ chưa được chọn trước đó, cùng với một chữ số $a_{i} \in \{0,1, \ldots, 9\}$. Louis đi trước. Khi tất cả các chỉ số đã được chọn, họ tính tổng sau:
$$
a_{0}+a_{1} \cdot 10+\ldots+a_{p-1} \cdot 10^{p-1}=\sum_{i=0}^{p-1} a_{i} \cdot 10^{i}
$$
Nếu tổng này chia hết cho $p$ thì Louis thắng, ngược lại Arnaud thắng. Chứng minh rằng Louis có chiến lược thắng.
$$
a_{0}+a_{1} \cdot 10+\ldots+a_{p-1} \cdot 10^{p-1}=\sum_{i=0}^{p-1} a_{i} \cdot 10^{i}
$$
Nếu tổng này chia hết cho $p$ thì Louis thắng, ngược lại Arnaud thắng. Chứng minh rằng Louis có chiến lược thắng.