MathNet 2019-part-03 — 184 bài (EN–VI)

Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ sao cho với mọi số thực $x$ và $y$, ta có
$$
f\left(x^{2}+x+f(y)\right)=y+f(x)+f(x)^{2}
$$

Cho $p$ là một số nguyên tố.

Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên tố $q$ sao cho $n^{p} \not\equiv p \pmod{q}$ với mọi $n \in \mathbb{Z}$.

Cho $a$ và $b$ là hai số thực thỏa mãn $a b \geqslant a^{3}+b^{3}$.
Chứng minh rằng $a+b \leqslant 1$.

Một cách tô màu $\mathbb{Q}$ là việc tô mỗi số hữu tỉ bằng màu đỏ hoặc màu xanh. Một cách tô màu $\mathbb{Q}$ được gọi là hài hòa nếu với mọi số hữu tỉ $x$ và $y$ cùng màu, số hữu tỉ $x+y$ cũng có cùng màu đó.

Tìm tất cả các cách tô màu $\mathbb{Q}$ hài hòa.

Trong một giải đấu có $n$ người chơi, được đánh số từ 1 đến $n$, mỗi cặp người chơi gặp nhau đúng một lần. Mỗi trận đấu kết thúc với chiến thắng của một trong hai người và thất bại của người kia. Kí hiệu $v_{k}$ là số trận thắng của người chơi $k$ trong giải đấu, và $d_{k}$ là số trận thua của người đó.

Chứng minh rằng $\sum_{k=1}^{n} v_{k}^{2}=\sum_{k=1}^{n} d_{k}^{2}$.

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn, với $AB \neq AC$. Gọi $\Gamma$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, và $D$ là trung điểm của cung $\widehat{BC}$ không chứa $A$. Cho $E$ và $F$ là các điểm lần lượt nằm trên các đoạn thẳng $[AB]$ và $[AC]$ sao cho $AE = AF$. Gọi $P$ là giao điểm khác $A$ của $\Gamma$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$.
Gọi $G$ và $H$ lần lượt là các giao điểm khác $P$ của $\Gamma$ với các đường thẳng $(PE)$ và $(PF)$. Cuối cùng, gọi $J$ là giao điểm của các đường thẳng $(AB)$ và $(DG)$, và $K$ là giao điểm của các đường thẳng $(AC)$ và $(DH)$.
Chứng minh rằng trung điểm của đoạn thẳng $[BC]$ nằm trên đường thẳng $(JK)$.

Mỗi ô của một bảng kích thước $8 \times 8$ được tô màu trắng hoặc đen sao cho mọi hình chữ nhật kích thước $2 \times 3$ hoặc $3 \times 2$ đều chứa hai ô đen có chung một cạnh. Xác định số ô đen nhỏ nhất có thể có trên bảng.

Cho $P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{2019}$ là các đa thức khác hằng với hệ số thực sao cho
$$
P_{1}\left(P_{2}(x)\right)=P_{2}\left(P_{3}(x)\right)=\ldots=P_{2019}\left(P_{1}(x)\right)
$$
với mọi số thực $x$. Chứng minh rằng $P_{1}=P_{2}=\ldots=P_{2019}$.

Kí hiệu $\mathbb{Q}^{+}$ là tập tất cả các số hữu tỉ dương. Xác định tất cả các hàm số $f: \mathbb{Q}^{+} \rightarrow \mathbb{Q}^{+}$ có tính chất
$$
f\left(x^{2} f(y)^{2}\right) = f\left(x^{2}\right) f(y) \tag{*}
$$
với mọi $x, y \in \mathbb{Q}^{+}$.

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a, b)$ sao cho tồn tại số nguyên dương $n$ để số các ước của $n a$ và số các ước của $n b$ bằng nhau.

Hãy xác định xem có tồn tại hay không một tập $M$ gồm các số nguyên dương có tính chất sau: với mọi số hữu tỉ dương $r\lt1$ tồn tại đúng một tập con hữu hạn $S$ của $M$ sao cho $\sum_{s \in S} 1 / s = r$, tức là tổng các nghịch đảo của mọi phần tử của $S$ bằng $r$.

Cho số nguyên dương $n$ và một bảng chơi gồm $n+1$ ô vuông xếp thành một hàng, được đánh số từ trái sang phải từ $0$ đến $n$. Lúc bắt đầu trò chơi, có $n$ viên đá trên ô số $0$ và các ô khác đều trống.

Một người chơi kiên nhẫn, ở mỗi nước đi, chọn một ô có $k \neq 0$ viên đá và dịch một viên trong số đó sang phải nhiều nhất $k$ ô. Viên đá phải ở lại trên bảng. Mục tiêu của anh ta là đưa tất cả $n$ viên đá đến ô số $n$ bằng một dãy các nước đi như vậy.

Chứng minh rằng người chơi không thể đạt được mục tiêu này với ít hơn $\left\lceil\frac{n}{1}\right\rceil+\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil+\left\lceil\frac{n}{3}\right\rceil+\ldots+\left\lceil\frac{n}{n}\right\rceil$ nước đi. (Ở đây $\lceil x\rceil$ kí hiệu số nguyên nhỏ nhất không nhỏ hơn $x$.)

Xét tam giác $ABC$ và một điểm $P$ nằm bên trong tam giác. Gọi $A_1$, $B_1$ và $C_1$ lần lượt là các điểm đối xứng của $P$ qua các cạnh $\overline{BC}$, $\overline{CA}$ và $\overline{AB}$. Gọi $\Omega$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $A_1B_1C_1$, và cuối cùng gọi $A_2$, $B_2$ và $C_2$ lần lượt là giao điểm thứ hai của các đường thẳng $A_1P$, $B_1P$ và $C_1P$ với $\Omega$. Chứng minh rằng ba đường thẳng $AA_2$, $BB_2$ và $CC_2$ đồng quy tại một điểm nằm trên $\Omega$.

Các số thực $r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{2019}$ thỏa mãn các điều kiện $r_{1}+r_{2}+\ldots+r_{2019}=0$ và $r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+\ldots+r_{2019}^{2}=1$. Đặt $a=\min \left(r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{2019}\right)$ và $b=\max \left(r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{2019}\right)$. Chứng minh rằng $a b \leq \frac{-1}{2019}$.

Cho tam giác $ABC$. Một đường tròn $k$ đi qua $A$, cắt các cạnh $\overline{AB}$ và $\overline{AC}$ lần thứ hai lần lượt tại các điểm $D$ và $E$, và cắt cạnh $\overline{BC}$ tại các điểm $F$ và $G$, trong đó $F$ nằm giữa $B$ và $G$. Tiếp tuyến tại $F$ của đường tròn đi qua $B$, $D$, $F$ và tiếp tuyến tại $G$ của đường tròn đi qua $C$, $E$, $G$ cắt nhau tại điểm $T$. Giả sử $A \neq T$. Chứng minh rằng các đường thẳng $AT$ và $BC$ song song với nhau.

Cho $m$ và $n$ là hai số nguyên dương. Chứng minh rằng số nguyên $m^{2} + \left\lceil \frac{4 m^{2}}{n} \right\rceil$ không phải là số chính phương.

(Ở đây $\lceil x \rceil$ kí hiệu số nguyên nhỏ nhất không nhỏ hơn $x$.)

Một tên cướp biển muốn chia một kho báu gồm 1000 đồng tiền vàng, mỗi đồng nặng ít nhất 1 g và tổng cộng nặng đúng 2 kg, thành hai phần sao cho khối lượng mỗi phần chênh lệch so với 1 kg không quá 1 g. Chứng minh rằng điều này có thể thực hiện được.

Cho tam giác $A B C$ với đường tròn ngoại tiếp $\Omega$ và các điểm $A_{1}, B_{1}$, $C_{1}$ lần lượt nằm trên các cạnh $\overline{B C}, \overline{C A}$, $\overline{A B}$ sao cho ba đường thẳng $A A_{1}, B B_{1}$ và $C C_{1}$ có chung một điểm $P$.
Chứng minh rằng trong ba điểm đối xứng của $P$ qua các điểm $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ (phép đối xứng tâm), có nhiều nhất hai điểm nằm ngoài $\Omega$.

Cho $\varepsilon\gt0$. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên $a, b$ và $c$, không đồng thời bằng $0$, sao cho bất đẳng thức $|a \sqrt{2}+b \sqrt{3}+c \sqrt{5}|\lt\varepsilon$ được thỏa mãn.

Chứng minh thêm rằng với mọi bộ ba số nguyên $(a, b, c) \neq(0,0,0)$ thỏa mãn bất đẳng thức này, ít nhất một trong các giá trị tuyệt đối $|a|,|b|,|c|$ lớn hơn $\varepsilon^{-1 / 3} / \sqrt{30}$.

Một lưới gồm tất cả các điểm có dạng $(m, n)$, trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên với $|m| \le 2019$, $|n| \le 2019$ và $|m| + |n| \lt 4038$. Ta gọi các điểm $(m, n)$ của lưới với $|m| = 2019$ hoặc $|n| = 2019$ là các *điểm biên*. Bốn đường thẳng $x = \pm 2019$ và $y = \pm 2019$ được gọi là các *đường biên*. Hai điểm của lưới được gọi là *kề nhau* nếu khoảng cách giữa chúng bằng 1.
Anna và Bob chơi một trò chơi trên lưới này.
Anna bắt đầu với một quân cờ tại điểm $(0, 0)$. Hai người lần lượt đi, Bob đi trước.
1) Ở mỗi lượt của mình, Bob xóa nhiều nhất hai điểm biên trên mỗi đường biên.
2) Ở mỗi lượt của mình, Anna thực hiện đúng ba *bước*, trong đó một *bước* là việc di chuyển quân cờ từ điểm hiện tại sang một điểm kề với nó chưa bị xóa.
Ngay khi Anna đặt quân cờ lên một điểm biên chưa bị xóa, trò chơi kết thúc và Anna thắng.

Hỏi Anna có chiến lược thắng hay không?