Cho tam giác $ABC$ và hai đường thẳng song song $\ell_{1}$, $\ell_{2}$. Với $i=1,2$, đường thẳng $\ell_{i}$ cắt các đường thẳng $BC$, $CA$, $AB$ lần lượt tại $X_{i}$, $Y_{i}$, $Z_{i}$. Giả sử đường thẳng qua $X_{i}$ vuông góc với $BC$, đường thẳng qua $Y_{i}$ vuông góc với $CA$ và đường thẳng qua $Z_{i}$ vuông góc với $AB$ tạo thành một tam giác không suy biến $\Delta_{i}$.
Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp của $\Delta_{1}$ và $\Delta_{2}$ tiếp xúc với nhau.
Cho tam giác nhọn $A B C$, điểm $H$ là chân đường cao kẻ từ $A$. Gọi $P$ là một điểm di động sao cho các đường phân giác $k$ và $\ell$ của các góc $P B C$ và $P C B$ tương ứng cắt nhau trên đoạn thẳng $A H$. Gọi $E$ là giao điểm của $k$ và $A C$, $F$ là giao điểm của $\ell$ và $A B$, và $Q$ là giao điểm của $E F$ và $A H$. Chứng minh rằng khi $P$ thay đổi, đường thẳng $P Q$ luôn đi qua một điểm cố định.
Cho hai tam giác $ABC$ và $A'B'C'$ có cùng đường tròn ngoại tiếp $\omega$ và cùng trực tâm $H$. Gọi $\Omega$ là đường tròn ngoại tiếp của tam giác tạo bởi các đường thẳng $AA'$, $BB'$ và $CC'$. Chứng minh rằng $H$, tâm của $\omega$ và tâm của $\Omega$ thẳng hàng.
(Đan Mạch)
Cho $A A^{\prime} B C C^{\prime} B^{\prime}$ là một lục giác lồi nội tiếp sao cho $A C$ tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$, và $A^{\prime} C^{\prime}$ tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác $A B C$. Gọi $X$ là giao điểm của các đường thẳng $A B$ và $A^{\prime} B^{\prime}$, $Y$ là giao điểm của các đường thẳng $B C$ và $B^{\prime} C^{\prime}$.
Chứng minh rằng nếu $X B Y B^{\prime}$ là một tứ giác lồi thì nó có đường tròn nội tiếp.
Với mỗi $1 \leqslant i \leqslant 9$ và $T \in \mathbb{N}$, gọi $d_{i}(T)$ là tổng số lần chữ số $i$ xuất hiện khi viết tất cả các bội của $1829$ nằm giữa $1$ và $T$ (kể cả hai đầu) trong hệ thập phân.
Chứng minh rằng có vô hạn $T \in \mathbb{N}$ sao cho trong các số $d_{1}(T), d_{2}(T), \ldots, d_{9}(T)$ có đúng hai giá trị phân biệt.
Cho $k$ là một số nguyên dương. Một dãy số nguyên $\langle a_i \rangle_{i=1}^\infty$ được gọi là $k$-pop nếu điều sau đây đúng: với mọi $n \in \mathbb{N}$, $a_n$ bằng số phần tử phân biệt của tập $\{a_1, \dots, a_{n+k}\}$. Hãy xác định, theo $k$, có bao nhiêu dãy $k$-pop.
Cho số thực $r \gt 0$. Mỗi điểm trong của hình tròn $D(r)$ bán kính $r$ được tô bằng một trong hai màu, đỏ hoặc xanh.
1. Nếu $r \gt \frac{\pi}{\sqrt{3}}$, chứng minh rằng ta có thể tìm được hai điểm $A$ và $B$ ở bên trong hình tròn sao cho khoảng cách $AB = \pi$ và $A$, $B$ cùng màu.
2. Kết luận ở câu (a) có còn đúng không nếu $r \gt \frac{\pi}{2}$?
Cho số nguyên $N \ge 3$. Ở đất nước Sibyl có $N^2$ thị trấn được sắp xếp như các đỉnh của một lưới $N \times N$, và mỗi cặp thị trấn ứng với một cặp đỉnh kề nhau trên lưới được nối bởi một con đường. Một số máy bay không người lái tự động, mỗi chiếc được lập trình để đi theo một đường hình chữ nhật xuất phát và kết thúc tại cùng một thị trấn, dọc theo các con đường của đất nước. Hóa ra mỗi con đường đều được ít nhất một máy bay đi qua. Hãy xác định số máy bay nhỏ nhất phải hoạt động.
Cho hai điểm $A$, $B$ trên mặt phẳng và $M$ là trung điểm của $AB$. Đầu tiên ta chọn một điểm $P$ trên đoạn $AB$, khác $A$, $B$, $M$. Ở bước thứ $i$, ta chọn một điểm đỏ $P_i$, rồi chọn một trong hai điểm $A$, $B$, gọi là $X_i$, lấy đối xứng $P_i$ qua $X_i$ để được $Q_i$, rồi tô đỏ trung điểm của $Q_iX_i$. Hỏi có thể sau một số bước ta tô đỏ được điểm $M$ hay không?
Ta gọi một số tự nhiên $n$ là *đẹp* nếu trong biểu diễn thập phân của nó không có chữ số $0$ và có một chữ số $b$ trong biểu diễn đó sao cho, sau khi xóa chữ số này, số nhận được là một ước của $n$. Chứng minh rằng chỉ có hữu hạn số *đẹp*.
Cho tứ giác $ABCD$ ngoại tiếp đường tròn $\omega$. Đường tròn $\omega$ tiếp xúc với $BC$ và $AD$ lần lượt tại $E$ và $F$, và $DE$ cắt $\omega$ lần thứ hai tại $X$. Nếu $AB$, $CD$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $DXF$, chứng minh rằng $AFXC$ là tứ giác nội tiếp.
Cho $1400$ số thực. Chứng minh rằng trong chúng có ba số $x$, $y$, $z$ sao cho
$$
\left| \frac{(x-y)(y-z)(z-x)}{1+x^4+y^4+z^4} \right| \lt \frac{9}{1000} .
$$
Có thể viết $1400$ số tự nhiên (không nhất thiết phân biệt) quanh một đường tròn sao cho số $2021$ được dùng ít nhất một lần và mỗi số bằng tổng của ước chung lớn nhất của hai số đứng trước nó và ước chung lớn nhất của hai số đứng sau nó hay không? Ví dụ, nếu $a, b, c, d, e$ là năm số liên tiếp trên đường tròn thì $c = \gcd(a, b) + \gcd(d, e)$.
*Morteza* có $100$ tập hợp. Ở mỗi bước, *Mahdi* được chọn hai tập phân biệt trong số đó và Morteza cho anh ta biết giao và hợp của hai tập này. Tìm số bước nhỏ nhất để *Mahdi* có thể xác định được cả $100$ tập hợp.
Với mỗi số nguyên dương $n$, gọi $\tau(n)$ và $\sigma(n)$ lần lượt là số ước dương của $n$ và tổng các ước dương của $n$. Cho $a$ và $b$ là các số nguyên dương sao cho $\sigma(a^n)$ chia hết $\sigma(b^n)$ với mọi $n \in \mathbb{N}$. Chứng minh rằng mọi ước nguyên tố của $\tau(a)$ đều là ước của $\tau(b)$.
Đường tròn nội tiếp $\omega$ của tam giác $ABC$ tiếp xúc với các cạnh $CB$ và $CA$ lần lượt tại $D$ và $E$. Điểm $X$ là điểm đối xứng của $D$ qua $B$. Giả sử đường thẳng $DE$ tiếp xúc với đường tròn bàng tiếp góc $A$ tại $Z$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $XZE$ cắt $\omega$ lần thứ hai tại $K$. Chứng minh rằng giao điểm của $BK$ và $AZ$ nằm trên $\omega$.
Cho tứ giác nội tiếp $ABCD$ có tâm đường tròn ngoại tiếp $O$. Điểm $P$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AD$ và $BC$. Giả sử $\omega_1$, $\omega_2$ và $\omega_3$ lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ADP$, $BCP$ và $OMN$. Gọi $E$ là giao điểm của $\omega_1$ và $\omega_3$ không nằm trên cung $APD$ của $\omega_1$, và $F$ là giao điểm của $\omega_2$ và $\omega_3$ không nằm trên cung $BPC$ của $\omega_2$. Chứng minh rằng $OE = OF$.
Cho $m$, $n$ và $a_1, a_2, \dots, a_m$ là các số nguyên dương tùy ý. Ali và Mohammad chơi trò chơi sau: ở mỗi bước, Ali chọn $b_1, b_2, \dots, b_m \in \mathbb{N}$, sau đó Mohammad chọn một số nguyên dương $s$ và nhận được dãy mới $\{c_i = a_i + b_{i+s}\}_{i=1}^m$, trong đó
$$
b_{m+1} = b_1,\ b_{m+2} = b_2,\ \dots,\ b_{m+s} = b_s.
$$
Sau hữu hạn bước, Ali muốn làm cho tất cả các số đều chia hết cho $n$. Tìm tất cả các số nguyên dương $m$ và $n$ sao cho Ali có chiến lược thắng, bất kể các giá trị ban đầu $a_1, a_2, \dots, a_m$.