VN TST 2016

Tìm các số nguyên dương $a,n$, với $a\gt 2$, sao cho mọi ước nguyên tố của $a^n-1$ đều là ước nguyên tố của $a^{3^{2016}}-1$.

Gọi $A$ là tập hợp $2000$ số nguyên phân biệt và $B$ là tập hợp $2016$ số nguyên phân biệt. Gọi $K$ là số cặp có thứ tự $(m,n)\in A\times B$ thỏa mãn $|m-n|\le 1000$. Tìm giá trị lớn nhất của $K$.

Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn cố định \((O)\), với \(B,C\) cố định và \(A\) di động trên một cung \(BC\) cố định. Các phân giác trong \(AD,BE,CF\) đồng quy tại \(I\). Đường tròn qua \(D\), tiếp xúc với đường thẳng \(OA\) tại \(A\), cắt lại \((O)\) tại \(G\). Các đường thẳng \(GE,GF\) cắt lại \((O)\) tại \(M,N\); đặt \(H=BM\cap CN\).
(a) Chứng minh \(AH\) đi qua một điểm cố định.
(b) Gọi \(K,L\) là giao điểm thứ hai của \(BE,CF\) với \((O)\), và \(P=AH\cap KL\). Lấy \(Q\in EF\) sao cho \(QP=QI\). Gọi \(J\ne I\) là giao điểm thứ hai của đường thẳng qua \(I\), vuông góc với \(IQ\), với \((BIC)\). Chứng minh trung điểm \(IJ\) nằm trên một đường tròn cố định.
Để phép dựng có nghĩa, xét các vị trí mà các đường tròn, đường thẳng và giao điểm được dùng đều tồn tại, phân biệt theo yêu cầu.

Cho tam giác nhọn \(ABC\) thỏa mãn
\[\angle ACB\lt \angle ABC\lt \angle ACB+\frac12\angle BAC.\]
Lấy \(D\) trên đoạn \(BC\) sao cho \(\angle ADC=\angle ACB+\tfrac12\angle BAC\). Tiếp tuyến tại \(A\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) cắt đường thẳng \(BC\) tại \(E\). Phân giác trong góc \(AEB\) cắt \(AD\) tại \(G\) và cắt lại đường tròn \((ADE)\) tại \(F\ne E\). Đặt \(H=DF\cap AE\).
(a) Chứng minh các đường tròn đường kính \(AE,DF,GH\) có một điểm chung.
(b) Lấy \(K\) trên đường phân giác ngoài của góc \(BAC\), \(M\) trên tia \(AC\) sao cho \(KB=KD=KM\). Tương tự, lấy \(L\) trên đường phân giác ngoài ấy, \(N\) trên tia \(AB\) sao cho \(LC=LD=LN\). Gọi \(I\) là trung điểm \(BC\); đường tròn \((MNI)\) cắt lại \(BC\) tại \(P\ne I\). Chứng minh \(BM,CN,AP\) đồng quy.

Cho $n\ge3$, $a_1,\ldots,a_n\in\{0,1\}$. Xét $n$ bộ dịch vòng $S_i=(a_i,a_{i+1},\ldots,a_n,a_1,\ldots,a_{i-1})$. Với bộ nhị phân $r=(b_1,\ldots,b_n)$, đặt $\omega(r)=\sum_{j=1}^n b_j2^{n-j}$. Giả sử $\omega(S_1),\ldots,\omega(S_n)$ nhận đúng $k$ giá trị phân biệt.
1. Chứng minh $k\mid n$ và $\frac{2^n-1}{2^k-1}\mid\omega(S_i)$ với mọi $i$.
2. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các số trên. Chứng minh
$$M-m\ge\frac{(2^n-1)(2^{k-1}-1)}{2^k-1}.$$

Cho $16$ số thực phân biệt $a_1,\ldots,a_{16}$. Với mỗi đa thức hệ số thực $P$, đặt $V(P)=\sum_{i=1}^{16}P(a_i)$. Chứng minh tồn tại duy nhất đa thức $Q$ bậc $8$ có hệ số của $x^8$ bằng $1$ thỏa mãn đồng thời:
1. $V(QP)=0$ với mọi đa thức $P$ có bậc nhỏ hơn $8$;
2. $Q$ có $8$ nghiệm thực, tính cả bội.