Câu hỏi 5
Cho $n\ge3$, $a_1,\ldots,a_n\in\{0,1\}$. Xét $n$ bộ dịch vòng $S_i=(a_i,a_{i+1},\ldots,a_n,a_1,\ldots,a_{i-1})$. Với bộ nhị phân $r=(b_1,\ldots,b_n)$, đặt $\omega(r)=\sum_{j=1}^n b_j2^{n-j}$. Giả sử $\omega(S_1),\ldots,\omega(S_n)$ nhận đúng $k$ giá trị phân biệt.
1. Chứng minh $k\mid n$ và $\frac{2^n-1}{2^k-1}\mid\omega(S_i)$ với mọi $i$.
2. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các số trên. Chứng minh
$$M-m\ge\frac{(2^n-1)(2^{k-1}-1)}{2^k-1}.$$
1. Chứng minh $k\mid n$ và $\frac{2^n-1}{2^k-1}\mid\omega(S_i)$ với mọi $i$.
2. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các số trên. Chứng minh
$$M-m\ge\frac{(2^n-1)(2^{k-1}-1)}{2^k-1}.$$