VMO 2016

Giải hệ phương trình
$$\begin{cases}6x-y+z^2=3,\\x^2-y^2-2z=-1,\\6x^2-3y^2-y-2z^2=0,\end{cases}\qquad(x,y,z\in\mathbb R).$$

a) Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi $a_n=\ln(2n^2+1)-\ln(n^2+n+1)$, với $n=1,2,\ldots$. Chứng minh chỉ có hữu hạn số $n$ sao cho $\{a_n\}\lt 1/2$.
b) Cho dãy số $(b_n)$ xác định bởi $b_n=\ln(2n^2+1)+\ln(n^2+n+1)$, với $n=1,2,\ldots$. Chứng minh tồn tại vô hạn số $n$ sao cho $\{b_n\}\lt 1/2016$.
Trong đó $\{x\}$ là phần lẻ của số thực $x$: $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$.

Cho tam giác $ABC$ có $B,C$ cố định, $A$ thay đổi sao cho tam giác $ABC$ nhọn. Gọi $D$ là trung điểm của $BC$ và $E,F$ tương ứng là hình chiếu vuông góc của $D$ lên $AB,AC$.
a) Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. $EF$ cắt $AO$ và $BC$ lần lượt tại $M,N$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMN$ đi qua một điểm cố định.
b) Các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ tại $E,F$ cắt nhau tại $T$. Chứng minh rằng $T$ thuộc một đường thẳng cố định.

Người ta trồng hai loại cây khác nhau trên một miếng đất hình chữ nhật kích thước $m\times n$ ô vuông (mỗi ô trồng một cây). Một cách trồng cây được gọi là ấn tượng nếu:
i) Số lượng cây được trồng của hai loại cây bằng nhau;
ii) Số lượng chênh lệch của hai loại cây trên mỗi hàng không nhỏ hơn một nửa số ô của hàng đó và số lượng chênh lệch của hai loại cây trên mỗi cột không nhỏ hơn một nửa số ô của cột đó.
a) Hãy chỉ ra một cách trồng cây ấn tượng khi $m=n=2016$.
b) Chứng minh nếu có một cách trồng cây ấn tượng thì cả $m$ và $n$ đều là bội của $4$.

Tìm tất cả các số thực $a$ để tồn tại hàm số $f:\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn
$$f(1)=2016,\qquad f(x+y+f(y))=f(x)+ay\quad(x,y\in\mathbb R).$$

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ (với tâm $O$) có các góc ở đỉnh $B,C$ đều nhọn. Lấy điểm $M$ trên cung $BC$ không chứa $A$ sao cho $AM$ không vuông góc với $BC$. $AM$ cắt trung trực của $BC$ tại $T$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AOT$ cắt $(O)$ tại $N$ ($N\ne A$).
a) Chứng minh $\angle BAM=\angle CAN$.
b) Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp và $G$ là chân đường phân giác trong góc $A$ của tam giác $ABC$. $AI,MI,NI$ cắt $(O)$ lần lượt tại $D,E,F$. Gọi $P,Q$ tương ứng là giao điểm của $DF$ với $AM$ và $DE$ với $AN$. Đường tròn đi qua $P$ và tiếp xúc với $AD$ tại $I$ cắt $DF$ tại $H$ ($H\ne D$), đường tròn đi qua $Q$ và tiếp xúc với $AD$ tại $I$ cắt $DE$ tại $K$ ($K\ne D$). Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác $GHK$ tiếp xúc với $BC$.

Số nguyên dương $n$ được gọi là số hoàn chỉnh nếu $n$ bằng tổng các ước số dương của nó (không kể chính nó).
a) Chứng minh rằng nếu $n$ là số hoàn chỉnh lẻ thì nó có dạng $n=p^s m^2$, trong đó $p$ là số nguyên tố có dạng $4k+1$, $s$ là số nguyên dương có dạng $4h+1$ và $m$ là số nguyên dương không chia hết cho $p$.
b) Tìm tất cả các số nguyên dương $n\gt 1$ sao cho $n-1$ và $n(n+1)/2$ đều là các số hoàn chỉnh.